Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.1.2
\]__. Fest un evn de dimension finie.
g Cas plus général de Eau lieu de JR".
\ 'I \ Uo est un translaté de U.
\..:..) Ona:
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
498
a EU et 0 E Uo.
Applications de classe c
1
sur un ouvert
Définition 1
Soient U un ouvert de ffi.P ,f : U -----+ F. On dit que f est de classe C
1 sur U si et
seulement si :
f admet des dérivées partielles premières par rapport
à chaque place en tout point de U
D 1 f, ... , D p f sont continues sur U.
Plus généralement, soient U un ouvert de E,f : U ~ F.
S'il existe une base B = (e 1 , ... ,ep) de E telle que:
I
• pour tout j de { 1, ... , p} et pour tout a de U , f admet une dérivée
première en a suivant ej , notée Dei f (a)
• pour tout j de { 1, ... , p ), l'application Dei f est continue sur U ,
on montre qu'il en est alors de même pour toute base B' de E, et on dit que f est de classe C
1
sur U.
)
\
Soient U un ouvert de "R.P,f : U -----+ "R.n de classe C
1 sur U, a= (ai , ... ,ap) EU.
Notons Uo = {h = (h 1 , ••• ,hp) E "R.P; a+ h = (a 1 + h 1 , •• • ,ap + hp) EU }.
Il existe une application & : Uo -----+ "R.n telle que :
{
p
ôf
Vh E Uo, f(a +h ) = f(a) + _Lh1 - (a) + llh ll&(h)
}=l
ÔXj
&(h) ~O.
h-..o
On dit alors que f admet un développement limité à l'ordre 1 en a (en abrégé:
DL 1 (a)).
L_
Preuve
D'après Analyse MPSI, 11.3.2 1) Th., chaque fonction composante f ; de f ( 1 :::;; i :::;; n) admet un
DL1 (a) :
p
ôJ;·
[
f;(a + h) = f;(a) + I>j1 (a)+ llhl le;(h)
j=)
ÔXj
é;(h) ~ 0 ,
h--->0
d'où le résultat, en notant é: h t---7 (e1 (h), ... ,e 11 (h)).
La conclusion de la Proposition précédente peut s'écrire sous la forme :
p
ôf
f(a + h) = f(a) + Lhj-(a) + o Cllhll).
j= I
ÔXj
h---> 0
•