Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
\ r; \ La matrice jacobienne 11(a) peut aussi
\.,;...) être notée 1 0 (f).
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
500
Le jacobien sert, entre autres, lors de
calculs d'intégrales doubles ou triples, par
changement de variables (cf. Analyse
MPSI, §§ 12.2.3 et 12.3.3).
Théorème important en vue du calcul des
dérivées partielles d'une fonction
composée.
On a noté ici abusivement g o I
l'application :
U---+ Rn .
X>-> g(f(x))
Soient U un ouvert de JR.P, a EU, f: U-----+ IR.n de classe C 1
sur U. On appelle matrice jacobienne def en a, et on note 11 (a), la matrice de daf
relativement aux bases canoniques de JR.P et IR.n .
Notons f1 , . .. , f n les fonctions composantes de f :
V XE U, f(x) = (!1 (x), ... .fn(x)) E IR.n.
On a alors:
of1 (a)
OX1
0/1 (a)
ÔXp
11 (a)= -
1 (a)
=
(
af;
)
OXj
1,;; i,;;11
E Mn ,p(IR.).
1,;;1 ,;;p
. . .
ofn. (a)
OX 1
ofn. (a)
OXp
! Avec les hypothèses et notations de la Définition précédente, et sin = p, on appel~
~erminant) jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne de f en a. j
2) Opérations
Composition des applications de classe C
1
Soient n ,p,q EN* ,U (resp.
V) un ouvert de IR.q
(resp.
f : U -----+ JR.P ,g : V -----+ IR.n telles quef (U) C V.
Sif est de classe C 1 sur U et si g est de classe C 1 sur V, alors g o f est de classe C 1
sur U et:
Preuve
Va EU, {
da(g o f)= (dl(a)g) o (da/) .
lgol (a)= l g(f(a)) · l 1(a)
• Soit a EV; notons Vo = {h E !Rq ; a +h E U},et Vo = {k E JRP ; f(a) +k EV}.
Puisque f est de classe C 1 sur V, d'après 9.1.2 Prop. p. 498, il existe BJ : Uo ----+ JRP telle que:
!
'V h E Uo, f(a + h) = f(a) + (da.f)(h) + ll hlle 1 (h)
e1(h) ~O .
h->0
De même, puisque g est de classe C 1 sur V, il existe e2 : Vo ----+ !Rn telle que :
{
'V k E Vo , g(f(a) + k) = g(f(a)) + (df(a)g)(k) + llk lle2(k)
e2(k) ~O.
k -> 0
Pout tout h de Uo, on a: (da.f)(h) + ll hlle1 (h) = .f(a + h) - f(a) E Vo.