8.4 .8 Soient a ,w E IR+, f : IR -----+ IR continue.
Déterminer les solutions y de y" + w 2 y = f sur IR te lles
que y(O) = y (a) =O.
2rr
8.4.9
Soient w E IR+ , T = - , f : IR -----+ C
w
T-périodique. Montrer que, pour que (E) y" + w 2 y = f
admette au moins une solution y : IR -----+ C T-périodique,
il fau t et il suffit que :
foT f(t)coswtdt = foT j(t)sin wt dt = 0,
et que, dans ce cas, toutes les solutions de (E) sont
T-périodiques.
8.4.10 Soit P E IK[X]. Montrer que l'ED y"+ y = P (x)
admet sur IR une solution polynomiale et une seule, qui
est:
+oo
d2n p
X t---+ ~(-l)n- 2 (x) .
~
dx n
n=O
8.4.11 Trouver tous les triplets (f, g, h) d'applications de
IR dans IR tels que :
{
h est continue sur IR
'v' (x ,y ) E IR
2 , f (x +y) = g(x)h(y).
8.4.12 Soit f : IR+ -----+ IR monotone, de classe C 1 ,
admettant une limite finie en + oo.
On note (E)
y" + y = f.
a) Montrer que toute solution de (E) sur IR+ est bornée.
b) Montrer que (E) admet une solution et une seule YI
ayant une limite finie en +oo, et exprimer YI.
8.4 .13 Soit l un intervalle de IR .
a) Soient a,b : l -----+ C continues ; on considère l'ED (E)
y"+ ay' + by = 0 , d'inconnue y: l -----+ C. Soient YI ,y2
deux solutions de (E) sur / , formant une famille libre.
Démontrer que, pour tout n de N*, la fami lie
(y f yi}(p,q)eN2,p+q= 11 est libre.
b) Soient n EN- {0, 1) , fi,J2: l -----+ C de classe C 2
telles que (fi, h) soit libre. Peut-on affirmer que la famille (! 1 P f 2 q)< ) ,,. , 2 + _ est libre?
p ,q E n , p q- n
c) Soient a,b,c : l -----+ C continues,
(E) y"' + ay" + by' + cy = 0, n E N - {O, 1},
YI , Y2 , y3 : l -----+ C trois solutions de (E) formant une
famill e libre. Peut-on affirmer que la fam ille
(Y PYCJYr)
est libre?
1 2 3 ( p,q ,r) EN3 ,p+ q +r=n
·
8.4.14 Soient l un intervalle de IR, f : l -----+ IR de classe C 1 ; on considère l'ED
(E) y" - f y = 0 , d'inconnue y : l -----+ IR.
8.4 · Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
a) Montrer qu'il existe a ,b ,c : l -----+ IR continues telles
que, pour toute solution y de (E) sur / , Y = y2 soit solution sur T de (F) y m = a Y"+ bY' + cY, et calculer a,b,c.
b) Montrer que, pour toutes solutions y,z de (E) sur/, yz
est solution de (F) sur /.
c) Montrer que, si (Y 1 ,Y2) est une base du IR -ev des solutions de (E) sur / , alors (y f .YJY2,y~) est une base du
IR -ev des solutions de (F) sur I et que
Wy~ .Y1 Y2.Yi = 2 (Wy1,y2)
3 ,
' w
IYI Y2 I
Y1
Y2 Y3
et Wr1 .Y2.Y3 = Y' Y' Y'
ou Yl ·Y2 = Y} Yl
1
2
3
Y" Y" Y"
1
2
3
sont des wronskiens.
8.4.15 a) Soient a ,b : [O; +oo[----+ IR de classe C 1 ; on
considère l'ED
(E) y"+ ay' + by = 0 , d'inconnue y : [O; +oo[----+ IR .
Soient YI une solution de (E) sur l telle que :
'v' X E [O; +oo[, YI (x) "1- 0,
xo E [O; +oo[ , A et Y2 : [O; +oo[-----+ IR définies par :
A(x) = jx a(t)dt ,
xo
j
x e- A (t)
Y2(X) = YI (x)
2
dt.
-'O (YJ (t))
Montrer que (y1 ,y2) est une base du IR -ev des solutions
de (E) sur [0; +oo[.
b) Soient u : [O; +oo[-----+ ]O; +oo[ de classe C 2 ,
v : [O; +oo[----+ IR définie par
r d t
'v' x E [0; +oo[,v (x) = u(x) Jo (u(t)) 2 ,
a E]O; +oo[ , w : [O; +oo[----+ IR continue définie par :
l
x
dt
'v' x E]O; +oo[, w(x) = v(x)
2
a (v(t))
(on montrera qu 'on peut prolonger w par continuité en 0).
Montrer qu'il existe (À, µ ) E IR 2 tel que w =À u + µv, et
calculer () . . ,µ).
8.4.16
Soient T E IR+, p : IR -----+ IR T-périodique,
continue, telle que :
('v' X E IR, p(x) < 0).
Montrer que la seule solution T-périodique de
y" + py = 0 sur IR est O.
8.4.17 Soient T E IR+, p : IR -----+ IR
T-périodique et
continue, (Y1 ,Y2) une base du IR -ev des solutions de
y" + py = 0 sur IR .
Démontrer qu'il existe (a ,b ,c,d) E IR 4 te l que :
l
'v'xE IR, { Y1(x+T) = ay 1(x)+by2(x)
Y2(X + T) = cyl (x) + dY2(x)
ad - be= l.
491
Déterminer les solutions y de y" + w 2 y = f sur IR te lles
que y(O) = y (a) =O.
2rr
8.4.9
Soient w E IR+ , T = - , f : IR -----+ C
w
T-périodique. Montrer que, pour que (E) y" + w 2 y = f
admette au moins une solution y : IR -----+ C T-périodique,
il fau t et il suffit que :
foT f(t)coswtdt = foT j(t)sin wt dt = 0,
et que, dans ce cas, toutes les solutions de (E) sont
T-périodiques.
8.4.10 Soit P E IK[X]. Montrer que l'ED y"+ y = P (x)
admet sur IR une solution polynomiale et une seule, qui
est:
+oo
d2n p
X t---+ ~(-l)n- 2 (x) .
~
dx n
n=O
8.4.11 Trouver tous les triplets (f, g, h) d'applications de
IR dans IR tels que :
{
h est continue sur IR
'v' (x ,y ) E IR
2 , f (x +y) = g(x)h(y).
8.4.12 Soit f : IR+ -----+ IR monotone, de classe C 1 ,
admettant une limite finie en + oo.
On note (E)
y" + y = f.
a) Montrer que toute solution de (E) sur IR+ est bornée.
b) Montrer que (E) admet une solution et une seule YI
ayant une limite finie en +oo, et exprimer YI.
8.4 .13 Soit l un intervalle de IR .
a) Soient a,b : l -----+ C continues ; on considère l'ED (E)
y"+ ay' + by = 0 , d'inconnue y: l -----+ C. Soient YI ,y2
deux solutions de (E) sur / , formant une famille libre.
Démontrer que, pour tout n de N*, la fami lie
(y f yi}(p,q)eN2,p+q= 11 est libre.
b) Soient n EN- {0, 1) , fi,J2: l -----+ C de classe C 2
telles que (fi, h) soit libre. Peut-on affirmer que la famille (! 1 P f 2 q)< ) ,,. , 2 + _ est libre?
p ,q E n , p q- n
c) Soient a,b,c : l -----+ C continues,
(E) y"' + ay" + by' + cy = 0, n E N - {O, 1},
YI , Y2 , y3 : l -----+ C trois solutions de (E) formant une
famill e libre. Peut-on affirmer que la fam ille
(Y PYCJYr)
est libre?
1 2 3 ( p,q ,r) EN3 ,p+ q +r=n
·
8.4.14 Soient l un intervalle de IR, f : l -----+ IR de classe C 1 ; on considère l'ED
(E) y" - f y = 0 , d'inconnue y : l -----+ IR.
8.4 · Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
a) Montrer qu'il existe a ,b ,c : l -----+ IR continues telles
que, pour toute solution y de (E) sur / , Y = y2 soit solution sur T de (F) y m = a Y"+ bY' + cY, et calculer a,b,c.
b) Montrer que, pour toutes solutions y,z de (E) sur/, yz
est solution de (F) sur /.
c) Montrer que, si (Y 1 ,Y2) est une base du IR -ev des solutions de (E) sur / , alors (y f .YJY2,y~) est une base du
IR -ev des solutions de (F) sur I et que
Wy~ .Y1 Y2.Yi = 2 (Wy1,y2)
3 ,
' w
IYI Y2 I
Y1
Y2 Y3
et Wr1 .Y2.Y3 = Y' Y' Y'
ou Yl ·Y2 = Y} Yl
1
2
3
Y" Y" Y"
1
2
3
sont des wronskiens.
8.4.15 a) Soient a ,b : [O; +oo[----+ IR de classe C 1 ; on
considère l'ED
(E) y"+ ay' + by = 0 , d'inconnue y : [O; +oo[----+ IR .
Soient YI une solution de (E) sur l telle que :
'v' X E [O; +oo[, YI (x) "1- 0,
xo E [O; +oo[ , A et Y2 : [O; +oo[-----+ IR définies par :
A(x) = jx a(t)dt ,
xo
j
x e- A (t)
Y2(X) = YI (x)
2
dt.
-'O (YJ (t))
Montrer que (y1 ,y2) est une base du IR -ev des solutions
de (E) sur [0; +oo[.
b) Soient u : [O; +oo[-----+ ]O; +oo[ de classe C 2 ,
v : [O; +oo[----+ IR définie par
r d t
'v' x E [0; +oo[,v (x) = u(x) Jo (u(t)) 2 ,
a E]O; +oo[ , w : [O; +oo[----+ IR continue définie par :
l
x
dt
'v' x E]O; +oo[, w(x) = v(x)
2
a (v(t))
(on montrera qu 'on peut prolonger w par continuité en 0).
Montrer qu'il existe (À, µ ) E IR 2 tel que w =À u + µv, et
calculer () . . ,µ).
8.4.16
Soient T E IR+, p : IR -----+ IR T-périodique,
continue, telle que :
('v' X E IR, p(x) < 0).
Montrer que la seule solution T-périodique de
y" + py = 0 sur IR est O.
8.4.17 Soient T E IR+, p : IR -----+ IR
T-périodique et
continue, (Y1 ,Y2) une base du IR -ev des solutions de
y" + py = 0 sur IR .
Démontrer qu'il existe (a ,b ,c,d) E IR 4 te l que :
l
'v'xE IR, { Y1(x+T) = ay 1(x)+by2(x)
Y2(X + T) = cyl (x) + dY2(x)
ad - be= l.
491