-0
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
490
Chapitre 8 • Ëquations différentielles
Exercices
8.4.1 Résoudre les E D linéaires du 2nd o rdre suivantes
(variable t, fonction inconnue x à valeurs réelles), sur tout
intervalle ouvert l de IR :
a) x" + (4e
1 -
l )x' + 4e 21 x = 0 (changement de variable
u = e
1 )
b) x" + x' - e- 21 x = ch t + 3sh t (changement de
variable u = e1 )
c) (t 2 + 1) 2 x" + 2t(t 2 + l )x' + x = (t 2 + 1) 2 (changement de variable u = Arctan t)
d) (1 + t2)x" + tx' + a 2 x = 0 , a > 0 fi xé (chercher un
changement de variable u = rp(t) permettant de se ramener à une ED linéaire à coeffi cients constants)
e) x"cost + x'sin t +xcos
3 t = 0 sur]- ~;~ [. sachant
qu'il existe deux solutio ns x1 ,x2 telles que xf +xi = 1
f) (1 - t 2 )x
11
- tx' + 9x = 0 sur ] - 1; 1 [, sachant qu 'il
existe deux solutions XJ ,x2 telles que xf +xi = l
g) x"+x'tan t+ (~+~tan 2 t) x=O sur] -~;~[ ,
sac hant qu'il existe deux solutions XJ ,x2 te lles que
x2 = tx1 et XJ i= O.
h) t 2 x" - 4tx' + 6x = 0 (chercher des solutions polynomiales)
i) ( 1 - t 2 )x
11 + 2tx' - 2x = 0 (chercher des solutio ns
po lyno mi ales)
j) (t - l )x" - (t + l )x' + 2x = 0 (chercher des solutions
polyno miales ou de la forme t 1--+ ea
1
, a E IR )
k) t(t + l )x
11
-
2tx' + 2x = 0 (chercher une solution
po lyno miale autre que 0)
l) tx
11 + (t - 2)x' - 3x = 0 (chercher une solutio n polyno miale autre que 0 ; on exprimera la solutio n générale à
l'aide d'un symbole de primitivation)
m) (t2 + t)x" + (3t + l )x' + x = 0 (changement de
fonctio n inconnue y = (1 + t)x)
n) 12 x" + tx' - (r 2 + ~) x = 0 (changement de fo nction inconnue y = x.JîtÏ)
o) (l - cos 4t )x
11 + 2x' sin4t - 8x = 0 sacha nt qu'il
existe deux solutions x 1 ,x2 telles que x 1 x2 = 1
p) t x" - x' + t 3 x = 0 sachant qu'il existe deux solutions
x 1 ,x2 telles que xf + xi = 1
q) t 2 x" + 4tx' + (2 - t 2 )x = l (changement de fo nction
inconnue y = t 2 x)
r) t 2 (1 - t )x" + t (t - l )x' + x = t 2 (chercher une solution polynomiale de !'ED sans ou avec second membre)
s) t 2 x" - 3tx' + 4x = t 3 (cf. Analyse MPSI, Exerc ice
10.2.6, E D d'Eul er)
x"
x'
x
t)
-sin t
cos t
sin t = 0 .
- 4sin 2t 2 cos2t sin 2t
8.4.2 Trouver les solutions dSE(O) des ED suivantes
(variable x, fo nctio n inconnue y à vale urs réelles) :
a) 2xy" +y' - y = 0
b) 4x(l - x)y" + 2(1- 3x)y' - y= 0
c) x(l - x)y" +(À - 3x)y' - y = 0 ,À E IR fixé; calculer
les sommes des séries entières obtenues dans le cas À = 1 .
8.4.3 Résoudre les ED linéaires du 2nd ordre à coefficients constants suivantes (variable x, fo nction inconnue y
à valeurs réelles) :
9
6
2
a) y" - 6y' + 9y = - + 2
+ 3
sur IR+
X
X
X
b) y"+ y = lx - ~ 1 + lx+ ~ 1 sur IR
c) y" - 3y' + 2y = xelxl sur IR
ex
d)y"-5y'+6y= - -
sur IR
ch 2 x
e) y"+ y= cotan x
sur ]0; rr [
f) y" - y = ln x
sur IR+
(on exprimera y à J'aide de
symboles de primitivati on)
2x + 1
g) y" - 4y' + 3y = - -
2
- ex sur IR+.
X
8.4.4 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :
{
y" + y = lx 2 - rr 2
1
a)
y(O) = y'(O) = 0
{
Y
111 + 2 y" + y' + 2 y = - 2ex
b)
y(O) = y' (0) = y" (0) = l.
8.4.5 Résoudre : (y
111 + y')cos x - (y" + y )sin x = 0 .
8.4.6
Mo ntrer que, pour tout (a,b) E IR 2 fixé, l'ED
y" - y = alx l + b admet sur IR une solution et une seule
dont la représentatio n graphique (C) admette en -oo et
+oo des asymptotes ; calculer cette solutio n.
8.4.7
Trouver tous les couples (f,g) d'applicatio ns
continues de IR dans IR tels que :
'v' XE IR, 1
fox f =X - l + g(x) .
fox g = x - l + f (x)
0
c
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490
Chapitre 8 • Ëquations différentielles
Exercices
8.4.1 Résoudre les E D linéaires du 2nd o rdre suivantes
(variable t, fonction inconnue x à valeurs réelles), sur tout
intervalle ouvert l de IR :
a) x" + (4e
1 -
l )x' + 4e 21 x = 0 (changement de variable
u = e
1 )
b) x" + x' - e- 21 x = ch t + 3sh t (changement de
variable u = e1 )
c) (t 2 + 1) 2 x" + 2t(t 2 + l )x' + x = (t 2 + 1) 2 (changement de variable u = Arctan t)
d) (1 + t2)x" + tx' + a 2 x = 0 , a > 0 fi xé (chercher un
changement de variable u = rp(t) permettant de se ramener à une ED linéaire à coeffi cients constants)
e) x"cost + x'sin t +xcos
3 t = 0 sur]- ~;~ [. sachant
qu'il existe deux solutio ns x1 ,x2 telles que xf +xi = 1
f) (1 - t 2 )x
11
- tx' + 9x = 0 sur ] - 1; 1 [, sachant qu 'il
existe deux solutions XJ ,x2 telles que xf +xi = l
g) x"+x'tan t+ (~+~tan 2 t) x=O sur] -~;~[ ,
sac hant qu'il existe deux solutions XJ ,x2 te lles que
x2 = tx1 et XJ i= O.
h) t 2 x" - 4tx' + 6x = 0 (chercher des solutions polynomiales)
i) ( 1 - t 2 )x
11 + 2tx' - 2x = 0 (chercher des solutio ns
po lyno mi ales)
j) (t - l )x" - (t + l )x' + 2x = 0 (chercher des solutions
polyno miales ou de la forme t 1--+ ea
1
, a E IR )
k) t(t + l )x
11
-
2tx' + 2x = 0 (chercher une solution
po lyno miale autre que 0)
l) tx
11 + (t - 2)x' - 3x = 0 (chercher une solutio n polyno miale autre que 0 ; on exprimera la solutio n générale à
l'aide d'un symbole de primitivation)
m) (t2 + t)x" + (3t + l )x' + x = 0 (changement de
fonctio n inconnue y = (1 + t)x)
n) 12 x" + tx' - (r 2 + ~) x = 0 (changement de fo nction inconnue y = x.JîtÏ)
o) (l - cos 4t )x
11 + 2x' sin4t - 8x = 0 sacha nt qu'il
existe deux solutions x 1 ,x2 telles que x 1 x2 = 1
p) t x" - x' + t 3 x = 0 sachant qu'il existe deux solutions
x 1 ,x2 telles que xf + xi = 1
q) t 2 x" + 4tx' + (2 - t 2 )x = l (changement de fo nction
inconnue y = t 2 x)
r) t 2 (1 - t )x" + t (t - l )x' + x = t 2 (chercher une solution polynomiale de !'ED sans ou avec second membre)
s) t 2 x" - 3tx' + 4x = t 3 (cf. Analyse MPSI, Exerc ice
10.2.6, E D d'Eul er)
x"
x'
x
t)
-sin t
cos t
sin t = 0 .
- 4sin 2t 2 cos2t sin 2t
8.4.2 Trouver les solutions dSE(O) des ED suivantes
(variable x, fo nctio n inconnue y à vale urs réelles) :
a) 2xy" +y' - y = 0
b) 4x(l - x)y" + 2(1- 3x)y' - y= 0
c) x(l - x)y" +(À - 3x)y' - y = 0 ,À E IR fixé; calculer
les sommes des séries entières obtenues dans le cas À = 1 .
8.4.3 Résoudre les ED linéaires du 2nd ordre à coefficients constants suivantes (variable x, fo nction inconnue y
à valeurs réelles) :
9
6
2
a) y" - 6y' + 9y = - + 2
+ 3
sur IR+
X
X
X
b) y"+ y = lx - ~ 1 + lx+ ~ 1 sur IR
c) y" - 3y' + 2y = xelxl sur IR
ex
d)y"-5y'+6y= - -
sur IR
ch 2 x
e) y"+ y= cotan x
sur ]0; rr [
f) y" - y = ln x
sur IR+
(on exprimera y à J'aide de
symboles de primitivati on)
2x + 1
g) y" - 4y' + 3y = - -
2
- ex sur IR+.
X
8.4.4 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :
{
y" + y = lx 2 - rr 2
1
a)
y(O) = y'(O) = 0
{
Y
111 + 2 y" + y' + 2 y = - 2ex
b)
y(O) = y' (0) = y" (0) = l.
8.4.5 Résoudre : (y
111 + y')cos x - (y" + y )sin x = 0 .
8.4.6
Mo ntrer que, pour tout (a,b) E IR 2 fixé, l'ED
y" - y = alx l + b admet sur IR une solution et une seule
dont la représentatio n graphique (C) admette en -oo et
+oo des asymptotes ; calculer cette solutio n.
8.4.7
Trouver tous les couples (f,g) d'applicatio ns
continues de IR dans IR tels que :
'v' XE IR, 1
fox f =X - l + g(x) .
fox g = x - l + f (x)