8.4 • Équations différentielles linéa ires scalaires du second ord re
Pour résoudre (E 0 ) :
- essayer de trouver deux solutions évidentes ou «simples» de (Eo) ; souvent, des polynômes dont on commencera par déterminer le degré. Si (Eo) admet deux solutions x1 ,x2 formant une famille libre, alors la solution générale de (Eo) est À1X1 + À2x2, (À 1 ,À2) E lK 2 .
- essayer de trouver une solution évidente ou « simple » x1 de (Eo), puis appliquer la méthode de Lagrange (§ 8.4.2
2) p. 481) : chercher une deuxième solution x2 de (Eo) sous la forme x2 = ÀX1, où À est une fonction inconnue.
Pour résoudre (E), une fois (E 0 ) résolue, il suffit de trouver au moins une solution de (E) :
- il se peut que (E) admette une solution évidente
- si (Eo) est à coefficients constants et si le second membre de (E) est une exponentielle-polynôme, chercher une
solution particulière de (E) sous la forme d' une exponentielle-polynôme
- sinon, appliquer la méthode de variation des constants (§ 8.4.3.2) p. 483) : ayant obtenu une base (x1 ,x2) des
solutions de (Eo), on cherche une solution x de (E) sous la forme x = À 1 x 1 + À2x2 , où À 1 ,À2 sont des fonctions
inconnues, en imposant À~x 1 + À;x2 =O . On résout le système d 'équations :
{
À~XJ + À;X2 = Ü
À~x; + À;x~ = g
d ' inconnue À~ , À; . On déduitx , x = À1X1 + À2x2 .
Ayant résolu (E) sur chaque intervalle, revenir enfin à (e) en étudiant les éventuels raccords.
• Pour effectuer un changement de variable, u = cp(t) , dans une ED d'inconnue x : t f----+ x(t) (ex. 8.4.1 a) à
d)), il faut aussi changer de fonction inconnue, en notant, par exemple, y : u f----+ y(u) = x(cp1 (u)) , de façon que
x(t) = y(u ). On aura ainsi, avec les notations abusives classique :
•
•
•
•
•
x(t ) = y (u)
r
r
du
X (t) =y (u)df
, , ,, (du)
2
,
d
2
u
x (t) =y (u ) dt +y (u) dt2
et on reportera dans l'ED portant sur l' inconnue x.
Pour chercher des solutions développables en série entière (ex. 8.4.2) :
+oo
- on suppose que y : x f----+ y(x), est dé veloppable en série entière en 0, y(x) = L anxn.
n = O
- on remplace y (x), y' (x), y" (x) par des sommes de séries dans l'ED proposée, puis on identifie en utilisant un
argument d ' unicité pour le développement en série entière du second membre
- on déduit an en fonction de n
- réciproquement, on considère la série entière obtenue et on montre que son rayon est > 0 ; sa somme vérifie
l'ED d'après la partie directe du raisonnement.
Pour déterminer une solution d'une ED linéaire du second ordre satisfaisant des conditions supplémentaires (ex. 8.4.4, 8.4.6, 8.4.8, 8.4.9), déterminer d ' abord toutes les solutions de cette ED, puis, parmi ces solutions,
chercher celles qui satisfont la condition imposée. Songer éventuellement à une utilisation du théorème de
Cauchy-Lipschitz linéaire.
Pour résoudre certaines équations faisant intervenir des intégrales ou des primitives, on peut quelquefois se
ramener à des ED (ex. 8.4.7).
Pour résoudre certaines équations fonctionnelles, on peut quelquefois se ramener à des ED linéaires (ex .
8.4.11) : à partir de l' équation fonctionnelle, dériver, éventuellement plusieurs fois, pour faire apparaître une ED.
JI se peut qu 'on ait d ' abord à établir une dérivabilité ; on pourra à cet effet faire intervenir une
primitivation.
Pour résoudre des exercices abstraits sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 (ex. 8.4.12 à 8.4.19),
envisager l' intervention du wronkien de deux solutions.
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Pour résoudre (E 0 ) :
- essayer de trouver deux solutions évidentes ou «simples» de (Eo) ; souvent, des polynômes dont on commencera par déterminer le degré. Si (Eo) admet deux solutions x1 ,x2 formant une famille libre, alors la solution générale de (Eo) est À1X1 + À2x2, (À 1 ,À2) E lK 2 .
- essayer de trouver une solution évidente ou « simple » x1 de (Eo), puis appliquer la méthode de Lagrange (§ 8.4.2
2) p. 481) : chercher une deuxième solution x2 de (Eo) sous la forme x2 = ÀX1, où À est une fonction inconnue.
Pour résoudre (E), une fois (E 0 ) résolue, il suffit de trouver au moins une solution de (E) :
- il se peut que (E) admette une solution évidente
- si (Eo) est à coefficients constants et si le second membre de (E) est une exponentielle-polynôme, chercher une
solution particulière de (E) sous la forme d' une exponentielle-polynôme
- sinon, appliquer la méthode de variation des constants (§ 8.4.3.2) p. 483) : ayant obtenu une base (x1 ,x2) des
solutions de (Eo), on cherche une solution x de (E) sous la forme x = À 1 x 1 + À2x2 , où À 1 ,À2 sont des fonctions
inconnues, en imposant À~x 1 + À;x2 =O . On résout le système d 'équations :
{
À~XJ + À;X2 = Ü
À~x; + À;x~ = g
d ' inconnue À~ , À; . On déduitx , x = À1X1 + À2x2 .
Ayant résolu (E) sur chaque intervalle, revenir enfin à (e) en étudiant les éventuels raccords.
• Pour effectuer un changement de variable, u = cp(t) , dans une ED d'inconnue x : t f----+ x(t) (ex. 8.4.1 a) à
d)), il faut aussi changer de fonction inconnue, en notant, par exemple, y : u f----+ y(u) = x(cp1 (u)) , de façon que
x(t) = y(u ). On aura ainsi, avec les notations abusives classique :
•
•
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x(t ) = y (u)
r
r
du
X (t) =y (u)df
, , ,, (du)
2
,
d
2
u
x (t) =y (u ) dt +y (u) dt2
et on reportera dans l'ED portant sur l' inconnue x.
Pour chercher des solutions développables en série entière (ex. 8.4.2) :
+oo
- on suppose que y : x f----+ y(x), est dé veloppable en série entière en 0, y(x) = L anxn.
n = O
- on remplace y (x), y' (x), y" (x) par des sommes de séries dans l'ED proposée, puis on identifie en utilisant un
argument d ' unicité pour le développement en série entière du second membre
- on déduit an en fonction de n
- réciproquement, on considère la série entière obtenue et on montre que son rayon est > 0 ; sa somme vérifie
l'ED d'après la partie directe du raisonnement.
Pour déterminer une solution d'une ED linéaire du second ordre satisfaisant des conditions supplémentaires (ex. 8.4.4, 8.4.6, 8.4.8, 8.4.9), déterminer d ' abord toutes les solutions de cette ED, puis, parmi ces solutions,
chercher celles qui satisfont la condition imposée. Songer éventuellement à une utilisation du théorème de
Cauchy-Lipschitz linéaire.
Pour résoudre certaines équations faisant intervenir des intégrales ou des primitives, on peut quelquefois se
ramener à des ED (ex. 8.4.7).
Pour résoudre certaines équations fonctionnelles, on peut quelquefois se ramener à des ED linéaires (ex .
8.4.11) : à partir de l' équation fonctionnelle, dériver, éventuellement plusieurs fois, pour faire apparaître une ED.
JI se peut qu 'on ait d ' abord à établir une dérivabilité ; on pourra à cet effet faire intervenir une
primitivation.
Pour résoudre des exercices abstraits sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 (ex. 8.4.12 à 8.4.19),
envisager l' intervention du wronkien de deux solutions.
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