-0
0
c
::J
0
(V)
......
Chapitre 8 • Équations différentielles
a2
a 2 =O,a5 = -
=0, ...
4. 3
Si (!.. 1,l..2) E JR. 2 est tel que
À1Y1 +l..2Y2 =0 ,
alors
l..1Y1 (0) + À2)'2(0 ) = 0,
d'où 1.. 1 = 0 , puis, comme
À2)'2 = 0 ,
>..2y; = o et y;(o) = 1 :;é o,
alors l..2 =O.
2) Réciproquement, soient (ao,a1) E IR 2 , a2 = 0 , (an)n ~3 définie par la relation de récurrence obtenue ci-dessus : 'V n ~ 3,
an-3
an=
.
(n - l)n
En particulier: 'V p E N, a3p+2 = O.
La règle de d'Alembert pour les séries numériques (4.2.4 3)) montre que, pour tout x de IR ,
les séries L a3Px
3 P, L a3p+ I x
3
P+ I convergent (si ao = 0 ou si a1 = 0, la convergence
p ~ O
p ~ O
est évidente). Il s'ensuit que la série entière L anx" est de rayon infini.
n ~ O
D'après 1), la somme y de la série entière L a 11 xn est solution de (Eo) sur IR .
n ~ O
3) Considérons en particulier les sommes Yl ,yz de séries entières obtenues en prenant respectivement (ao = l,a1 = 0),(ao = O,a1 = 1) :
'V X E IR,
+oo
x3p
l
YI (x) = l +:; (2 · 3)(5 · 6) ... ((3p - 1)3p)
+oo
x3p+ I
yz(x) = x +
: ; (3. 4) (6. 7) ... (3p(3p + 1))
D'après l'étude précédente, YI et Y2 sont solutions de (Eo) sur IR . Comme clairement
(Y1 ,Y2) est libre, et que le IR-ev des solutions de (Eo) sur IR est de dimension 2, (Y1 ,Y2) est
une base du IR -ev des solutio ns de (Eo) sur IR.
Dans l'exemple précédent, toute solution de (Eo) sur IR est dSE(O) (et de rayon infini) ; le
lecteur rencontrera des exemples (cf. exercice 8.4.2 p. 490) dans lesquels les solutions de
(Eo) (ou de (E)) ne sont pas toutes dSE(O).
Remarques:
1) La méthode illustrée par l'exemple précédent pourra être envisagée lorsque les coefficients a, A, B de l'ED (E) ax" + Ax' + Bx = G sont des polynômes et que G est dSE(O).
Dans d'autres cas, la méthode peut aussi aboutir, mais les calculs risquent d'être compliqués,
à cause de produits de séries entières.
2) On peut aussi chercher dans certains cas des solutions dSE(O) pour des ED linéaires scalaires du 1er ordre, ou même plus généralement pour des ED non linéaires, les calculs dans ce
dernier cas étant souvent compliqués.
Les méthodes à retenir
~
Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
@
.._,
.s::
Ol
• Pour résoudre une ED linéaire du second ordre avec second membre (ex. 8.4.1, 8.4.3) :
·~
(e)
a x" + f3x' + yx = 8
o.
8
où a,{3,y,8: I ----+ lK sont continues sur l' intervalle I et x: I ----+ lK est l'inconnue, deux fois dérivable sur/,
commencer par normaliser (e), ce qui donne une ED:
(E)
x" + ax' + bx = g
à résoudre sur certains intervalles.
Pour résoudre (E), commencer par résoudre !'ED linéaire sans second membre associée;
(E 0 )
x" + ax' + bx =O.
488
0
c
::J
0
(V)
......
Chapitre 8 • Équations différentielles
a2
a 2 =O,a5 = -
=0, ...
4. 3
Si (!.. 1,l..2) E JR. 2 est tel que
À1Y1 +l..2Y2 =0 ,
alors
l..1Y1 (0) + À2)'2(0 ) = 0,
d'où 1.. 1 = 0 , puis, comme
À2)'2 = 0 ,
>..2y; = o et y;(o) = 1 :;é o,
alors l..2 =O.
2) Réciproquement, soient (ao,a1) E IR 2 , a2 = 0 , (an)n ~3 définie par la relation de récurrence obtenue ci-dessus : 'V n ~ 3,
an-3
an=
.
(n - l)n
En particulier: 'V p E N, a3p+2 = O.
La règle de d'Alembert pour les séries numériques (4.2.4 3)) montre que, pour tout x de IR ,
les séries L a3Px
3 P, L a3p+ I x
3
P+ I convergent (si ao = 0 ou si a1 = 0, la convergence
p ~ O
p ~ O
est évidente). Il s'ensuit que la série entière L anx" est de rayon infini.
n ~ O
D'après 1), la somme y de la série entière L a 11 xn est solution de (Eo) sur IR .
n ~ O
3) Considérons en particulier les sommes Yl ,yz de séries entières obtenues en prenant respectivement (ao = l,a1 = 0),(ao = O,a1 = 1) :
'V X E IR,
+oo
x3p
l
YI (x) = l +:; (2 · 3)(5 · 6) ... ((3p - 1)3p)
+oo
x3p+ I
yz(x) = x +
: ; (3. 4) (6. 7) ... (3p(3p + 1))
D'après l'étude précédente, YI et Y2 sont solutions de (Eo) sur IR . Comme clairement
(Y1 ,Y2) est libre, et que le IR-ev des solutions de (Eo) sur IR est de dimension 2, (Y1 ,Y2) est
une base du IR -ev des solutio ns de (Eo) sur IR.
Dans l'exemple précédent, toute solution de (Eo) sur IR est dSE(O) (et de rayon infini) ; le
lecteur rencontrera des exemples (cf. exercice 8.4.2 p. 490) dans lesquels les solutions de
(Eo) (ou de (E)) ne sont pas toutes dSE(O).
Remarques:
1) La méthode illustrée par l'exemple précédent pourra être envisagée lorsque les coefficients a, A, B de l'ED (E) ax" + Ax' + Bx = G sont des polynômes et que G est dSE(O).
Dans d'autres cas, la méthode peut aussi aboutir, mais les calculs risquent d'être compliqués,
à cause de produits de séries entières.
2) On peut aussi chercher dans certains cas des solutions dSE(O) pour des ED linéaires scalaires du 1er ordre, ou même plus généralement pour des ED non linéaires, les calculs dans ce
dernier cas étant souvent compliqués.
Les méthodes à retenir
~
Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
@
.._,
.s::
Ol
• Pour résoudre une ED linéaire du second ordre avec second membre (ex. 8.4.1, 8.4.3) :
·~
(e)
a x" + f3x' + yx = 8
o.
8
où a,{3,y,8: I ----+ lK sont continues sur l' intervalle I et x: I ----+ lK est l'inconnue, deux fois dérivable sur/,
commencer par normaliser (e), ce qui donne une ED:
(E)
x" + ax' + bx = g
à résoudre sur certains intervalles.
Pour résoudre (E), commencer par résoudre !'ED linéaire sans second membre associée;
(E 0 )
x" + ax' + bx =O.
488