g
-0
0
c
::J
0
(V)
.-l
0
N
@
n >0.
~
On a exprimé µ2 en fonction de
À1, À2, µ1.
8.4.5
Le point 1) constitue l'analyse, et le point
2) ci-après est la synthèse.
On peut dériver terme à terme une série
entière à l'intérieur de l'intervalle de
convergence.
Changement d'indice n : +- n - 2
dans la première somme de séries.
Regroupement en une seule série
entière.
8.4 • Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
L'application x est deux fois dérivable sur (au moins) l - {-~}, et:
1
si t < - -
2
1
si t > - -
2
1
1
Il y a raccord par dérivabilité seconde en - 2
(c'est-à-dire : x est deux fois dérivable en - 2
)
si et seulement si : 8>.. 1 + 4µ,1 e = 8>..2 + 4µ,2e. Dans cet exemple, on retrouve encore la
condition (1).
Finalement :
.
1 ; U-1,flJ ,À2) E IR
3 ).
SI ( ~- 2,
.
1
SI ( ~- 2
En particulier: dim(So(/)) = 3.
Utilisation de séries entières
De même que, dans des exemples précédents, on a recherché d'éventuelles solutions
polynomiales, il peut être utile de rechercher d'éventuelles solutions développables en
série entière.
Par commodité, comme la variable d'une série entière est souvent notée x, nous allons ici noter
x la variable et y la fonction inconnue.
Exemple:
Déterminer les solutions de CEo) y" - x y = 0 développables en série entière (centrée en 0).
1) Supposons qu'il existe r E]O; +oo] tel que (Eo) admette sur ] - r; r[ une solution y
+oo
dSE(O) de rayon R ;;?! r : y(x) = L anxn.
n=O
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, y est de classe C
00 sur] - r; r[ et :
V x E] - r; r[,
+oo
)
y"(x) = Ln(n - l)anxn - 2 .
n=2
+oo
+oo
D'où, pour tout x de] - r; r[ : y" (x) - xy(x) = L n(n - l)anxn - 2 - L anxn+ I
n=2
n=O
+oo
+oo
= L(n + 2)(n + I)a 11 +2xn - L.:a 11 _1x"
n=O
n=I
+oo
= 2a2 + L ( (n + 2)(n + l)an+ 2 - a 11 _ 1) xn.
n=I
D'après l'unicité du DSE(O) de la fonction nulle, on en déduit que y est solution de (Eo) sur
] - r; r[ si, et seulement si :
1
a2=0
'in EN*,
an+ 2 = (n + 2)(n + 1)
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