Chapitre 8 • Équations différentielles
\JJ Après calculs.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
486
On peut aussi arriver à x2 à partir de x 1
par la méthode de Lagrange.
x'(t)
~
-4À2 - 2µ,2e,
1--->(-~t
et on utilise le théorème limite de la
dérivée.
Exemple
Résoudre l'ED (e 0 ) (2t + l)x" + (4t - 2)x' - 8x = O, d'inconnue x à valeurs réelles
sur tout intervalle ouvert de IR .
• Résolution de /'ED normalisée (Eo)
Il
4t - 2 f
8
1
x + - - x - - -x= Osur]-oo;--[
2t + 1
2t + 1
2
1
et sur] - 2 ; +oo[.
Nous récrivons quand même (Eo) sous la forme plus simple (eo) (avec ici : 2t + 1 =!= 0).
La recherche d'une éventuelle solution polynomiale aboutit dans cet exemple ;
x 1 : t ~ 4t 2 + 1 est solution de (eo).
La recherche d'une éventuelle solution du type t ~ ea
1 aboutit aussi dans cet exemple ;
x2 : t ~ e- 21 est solution de (eo).
1
Ainsi, si - 2
~/,l'ensemble So(/) des solutions de (eo) sur I est:
1
• Etude du raccord en -2
1
Soit I un intervalle ouvert de IR tel que - 2
E /.
1
Considérons x : 1 - {- 2
}-----+ IR définie par:
1
Àt (4t
2
+ 1) + µ, 1 e -
21
x(t) =
À1(4t
2
+ 1) + µ, 2 e -
21
1
.
1
SI t < - -
2
.
1
SI t > - -
2
'où
1
Il y a raccord par continuité en - 2
(c'est-à-dire: x admet une limite finie en - 2 ) si et seulement si : 2)q + f.LJ e = 2.>..2 + f.L2e (1).
Supposons cette condition (1) réalisée et considérons l'application I -----+ IK, encore notée x,
définie par :
1
. >. . 1 (4t
2 + 1) + µ, 1 e - 21
x(t) =
2À 1 + f.L1 e
À1(4t
2
+ 1) + µ, 2 e -
21
si
si
si
1
t < - -
2
1
t =-2
1
t > - - .
2
1
L'application x est dérivable sur (au moins) I - {- 2 }, et:
si
si
1
t < - -
2
1
t > -2
1
1
Il y a raccord par dérivabilité en - 2
(c'est-à-dire: x est dérivable en - 2
) si et seulement si :
Supposons la condition (2) réalisée (dans cet exemple, la condition (2) est identique à (1)).