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Il en résulte que l'ensemble des solutions
X : T ---+ M11 , t (OC)
de l'équation différentielle linéaire du
premier ordre,normalisée,à coefficients
constants et sans second membre
X ' = AXest:
{t !---+ e'A Xo; Xo E M 11, 1(0C)}.
En utilisant aussi le résultat précédent,
on conclut que la solution générale X
de (E) sur I est donnée par :
X(I) = e
1 A 1' e-sA B(s)ds
to
où Xo E M,,, t (OC) .
l
l
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Preuve
Pour tout N de N, on a : t ~(p- 1 AP)k = t ~p- 1 Ak p = p - 1 (t ~Ak)p,
k=O k.
k=O k.
k=O k .
d'où, en faisant tendre N vers +oo et en remarquant que M f----+ p - I M P est continue sur M 11 (lK) :
exp(P- 1 AP) = p - 1 exp(A)P.
b) Utilisatioll de l'exponentielle d'ulle matrice carrée dans La résolution d'une ED
linéaire du premier ordre et à coefficients constants
Soient A E M n (IK) et l un intervalle de R
L'application

1 sur let :
tf----+ et A
Vt E / , 1 (t) = A

Preuve
Notons, pour k E N , Jk : I ~ Mn (IK).
k
t i---+ hAk
D'après la Proposition 1 p. 468, L fk converge localement uniformément sur /. De plus, pour chaque k
k;,0
de N , Jk est de classe C
1 sur I et :
V t E / , 1
k- 1
1
t
k
J~(t) = (k- l)!A = AJk- J(t) = Jk- J(t)A
J 0 (t ) = o.
si k ?:: 1
D'après la Proposition 1 p. 468, L Ji converge localement uniformément sur /.
k;,O
+oo
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on en déduit que L Jk est de classe C 1 sur l et
k=O
(
+oo ) '
+oo
L Jk = L Ji, c'est-à-dire que cp est de classe C 1 sur let
k=O
k=O
Vt E / , cp'(t) = A cp (t) = cp(t)A.
Soient l un intervalle de IR, A E Mn (IK), B : l -----"* M n, 1 (IK) continue. Une solution de (E) X ' = AX + B sur I est, pour t 0 E I fixé quelconque,
Preuve
t 1-------* e' A f,
1
e -s A B(s) ds .
fo
•
L'application X :
I ~ Mn , 1 (IK)
est de classe C 1 sur I (d'après la Proposition
t i---+e 1 A J,
1 e-sA B(s) ds
'O
précédente) et, pour tout t de I :
X ' (t) = Ae
1 A [' e - s A B(s ) ds + e
1 Ae- rA B (t ) = AX (t) + B(t).
lr 0
•
469