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470
Chapitre 8 • ~quations différentielles
Exemple de résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients constants
Résoudre le système différentiel :
(S)
y' = -2x +y + 2z + sin t
l
x'= -3x + 2y + 2z + 1
z' = - 2x + 2 y + z + cos t
où test la variable, r E IR, et x ,y,z: IR-----+ IR les fonction s inconnues.
Solution
Il s'agit d'un système différentiel linéaire du premier ordre, à coefficients constants
et avec second membre.
Notons
(
- 3 2
A= -2 1
-2 2
2)
(x(t) )
( 1 )
2 , X(t) = y(t) , B(t) = sint .
1
z(t)
cos t
Ainsi:
(S) ~ Vt E IR, X ' (t) = AX(t) + B(t).
• Réduction de A
On forme le polynôme caractéristique XA de A :
-3-À
2
2
-2
1 -À
2
-2
1 - À
1- À
1-À
1
2
1-À
2
1-À
2
2
2
2
= (1 - À)
1- À
2
2
1 -À
2
2
2
] - À
= (1 - À) 0 -1-À
0
0
= (1 - À)(- l -À)
2 =-(À - l)(À + 1)
2
•
0
-1-À
Il en résulte que les valeurs propres de A sont - 1 (double) et 1 (simple).
* Détermination de SEP (A, -1)
Ooa, pounout X = G) E M ,., (IR) •
XE SEP(A , -1) ~ AX =-X
l
-3x + 2y + 2z = -x
~
-2x +y+ 2z = - y
-2x + 2y + z = - z
~ -x+y+z =O.
Ainsi, SEP(A , -1) est de dimension 2, et admet pour base, par exemple, (V., V2) ,
oo.v,=(D.v,=(D·
Conseils
{
Li +-- L2 - L 1
LJ +-- L J - L1.
D'après le Cours, les valeurs propres de A
sont les zéros de XA.
Ici, selon l'usage, X désigne une colonne
fixe, n'ayant rien à voir avec l'inconnue X
fonction.