Chapitre 8 • Équations différentielles
0 On sait qu'il existe au moins une norme
lfJ d'algèbre sur M 11 (OC), cf. § 1.2.5.
'
Attention : l'inégalité n'est, a priori, pas
valable pour k = 0, puisqu'on n'a pas
nécessairement 11 1 11 11 ::::; 1 .
\ ') \ Pour la définition de la convergence
\...:,..) normale d'une série d'applications,
cf.§ 5.3.1 Définition S.
•
Ainsi: exp( A)
1 2
-0
0
c
::J
o,
(V).
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
468
= 111 + A+ 2!A + ...
Attention : si A et B ne commutent pas,
il sepeutqueeA+B, eAe 8 , e 8 eA
ne soient pas égaux, comme le lecteur
pourra s'en convaincre en examinant
l'exemple :
A=
B=
( 0 1) (0 0)
0 0 ' 1 0 .
Il suffit d'appliquer la Proposition 2 à
B =-A et de re marquer que
e 0 =1 11 •
3) Utilisation d'une exponentielle de matrice carrée
a) Définition et premières propriétés de l'exponentielle d'une matrice carrée
L'algèbre Mn (IK.) est ici munie d'une norme 11-11 d'algèbre, c'est-à-dire d'une norme
11-1 1 surl'espace vectorielMn(IK.) telle que: V(A ,B) E (Mn(IK.)) 2 , llAB ll::::;; ll All ll Bll -
Une récurrence immédiate montre que : V A E M n (!K.) , V k E N*,
P.roposition 1
(
M n (!K.) ----+ M n (!K.) )
La série d'application L
1 k
k >-O
A f------+ - A
converge normalement sur toute
r
k!
partie bornée de Mn (!K.) .
Preuve
Soit X une partie bornée de Mn (JK) ; il existe M E IR+ tel que : V A E X , 11A11 ::::; M.
Ona alors: Vk E N*, VA EX, 11 :!Akl l ::::; :!llAllk ~ ~!k .
Mk
(
1 )
Comme la série numérique L - 1 converge, la série d'applications L A 1-----+ 1 A k
k~O k.
k~O
k.
converge
normalement sur X.
•
On appelle exponentielle, et on note exp, l'application de Mn (!K.) dans Mn (!K.) défirue par:
Remarques:
V A E Mn(IK.),
+oo 1
exp(A) = L _:.__Ak.
k=O k!
2) Il est clair que, sin = 1 et si on confond une matrice M 1 (JK) avec son unique élément, a lors
on retombe sur l'exponentielle réelle ou complexe définie antérieurement (Analyse MPSI, 7.2,
et Analyse MP, 6.6.1 Déf. p. 395). On peut donc noter eA au lieu de exp( A), pour A E M 11 (JK) .
Preuve
+ I
I
1
2
Il suffit de reproduire la preuve de la relation ez z = ezez = ez ez pour (z ,z') E C , cf. 6.6.1 ,
Théorème 1, p. 396.
V A E M n(IK.) ,
_ )
0 On sait qu'il existe au moins une norme
lfJ d'algèbre sur M 11 (OC), cf. § 1.2.5.
'
Attention : l'inégalité n'est, a priori, pas
valable pour k = 0, puisqu'on n'a pas
nécessairement 11 1 11 11 ::::; 1 .
\ ') \ Pour la définition de la convergence
\...:,..) normale d'une série d'applications,
cf.§ 5.3.1 Définition S.
•
Ainsi: exp( A)
1 2
-0
0
c
::J
o,
(V).
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
468
= 111 + A+ 2!A + ...
Attention : si A et B ne commutent pas,
il sepeutqueeA+B, eAe 8 , e 8 eA
ne soient pas égaux, comme le lecteur
pourra s'en convaincre en examinant
l'exemple :
A=
B=
( 0 1) (0 0)
0 0 ' 1 0 .
Il suffit d'appliquer la Proposition 2 à
B =-A et de re marquer que
e 0 =1 11 •
3) Utilisation d'une exponentielle de matrice carrée
a) Définition et premières propriétés de l'exponentielle d'une matrice carrée
L'algèbre Mn (IK.) est ici munie d'une norme 11-11 d'algèbre, c'est-à-dire d'une norme
11-1 1 surl'espace vectorielMn(IK.) telle que: V(A ,B) E (Mn(IK.)) 2 , llAB ll::::;; ll All ll Bll -
Une récurrence immédiate montre que : V A E M n (!K.) , V k E N*,
P.roposition 1
(
M n (!K.) ----+ M n (!K.) )
La série d'application L
1 k
k >-O
A f------+ - A
converge normalement sur toute
r
k!
partie bornée de Mn (!K.) .
Preuve
Soit X une partie bornée de Mn (JK) ; il existe M E IR+ tel que : V A E X , 11A11 ::::; M.
Ona alors: Vk E N*, VA EX, 11 :!Akl l ::::; :!llAllk ~ ~!k .
Mk
(
1 )
Comme la série numérique L - 1 converge, la série d'applications L A 1-----+ 1 A k
k~O k.
k~O
k.
converge
normalement sur X.
•
On appelle exponentielle, et on note exp, l'application de Mn (!K.) dans Mn (!K.) défirue par:
Remarques:
V A E Mn(IK.),
+oo 1
exp(A) = L _:.__Ak.
k=O k!
2) Il est clair que, sin = 1 et si on confond une matrice M 1 (JK) avec son unique élément, a lors
on retombe sur l'exponentielle réelle ou complexe définie antérieurement (Analyse MPSI, 7.2,
et Analyse MP, 6.6.1 Déf. p. 395). On peut donc noter eA au lieu de exp( A), pour A E M 11 (JK) .
Preuve
+ I
I
1
2
Il suffit de reproduire la preuve de la relation ez z = ezez = ez ez pour (z ,z') E C , cf. 6.6.1 ,
Théorème 1, p. 396.
V A E M n(IK.) ,
_ )