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0
(V)
......
0
N
@
.._,
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Ol
·;::
>- 0.
0
u
g
462
Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
On en déduit la solution générale de (S 0 ) :
(x,y) = a(t,1) +b(-e -
1 ,-te -
1
),
(a,b) E l!~.2,
!
x = at - be-'
c'est-à-dire:
(a,b) E JR 2 .
y= a -bte - '
2) Résolution de (S)
Conseils
D'après le Cours, l'ensemble des solutions
de (So) est un JR.-espace vectoriel de
dimension 2, et nous venons d'en trouver
une base.
Pour trouver une solution particulière de (S), on peut appliquer la méthode de Cf.8.3.S 2)Théorème.
variation des constantes : on cherche une solution particulière de (S) sous la forme
(x=at-be1 ,y=a-bte -
1 ),
où a,b:]l;+oo[--+IR sont des fonctions
inconnues, supposées dérivables.
On a:
!
(t - l)x' = x - y+ (t - l)(-t
2
+ t - 1) e -r
(S)
(t + J)y' =X - ty + (1 - 2t)(t + l ) e - /
= at - be - r - a + bt e _, + (t - 1 )(-t 2 + t - 1) e - r
~
l
(t- l )(a't+a-b'e -'+be -
1 )
(t+l)(a'-b'te -
1 -b(e -
1 - te -
1 ))
= at - be _, - at + bt 2 e - i + (1 - 2t)(t + 1) e - i
~ ! (t - 1 )(ta' - e - i b') = (t - l )(-t
2
+ t - 1) e - i
(t + l )(a' - te -
1
b' ) = (1 - 2t)(t + 1) e1
~ !ta' -e -
1 b'=(-t
2 +t-1)e -
1
a' - te -
1 b' = (1- 2t)e -
1
1
(t 2 - l)a' = (t(-t 2 +t- l)-(l -2t))e -
1
= (-t 3 +t 2 +t- l)e -
1 = (t 2 - 1)(-t + l)e -
1
(t 2 - 1) e - i b' = ( - t 2 + t - 1 - t (1 - 2t)) e - i = (t 2 - 1) e - i
~ ! a'= (-t + l)e - ' {::= ! a= te1
b' = l
b = t.
Une solution particulière de (S) est donc :
!
x = at - be - i = t 2 e _, - te -t = (t 2 - t) e - i
y = a - bt e - i = te _, - t 2 e - i = (t - t 2 ) e - i.
Finalement, la solution générale de (S) est donnée par :
!
x(t) = at +be -t + (t
2 - t) e -
1
(a,b) E IR
2 .
y(t) = a + bt e - i + (t - t 2 ) e _,
Les termes en a et b disparaissent, selon la
méthode.
Par exemple, on combine linéairement les
équations, avec les coefficients :
On peut vérifier que (x ,y) est bien solution
de (5).
D'après le Cours, la solution générale de (5)
est la somme d'une solution particulière de
(5) et de la solution générale de (S 0 ) .
8.3.6 Systèmes différentiels linéaires du 1er ordre
à coefficients constants
Autrement dit, l'application
A: I-+ .C(E)
t f-+ A(t)
est ici supposée constante.
Nous envisageons ici l'équation différentielle linéaire (E)
A E Mn (JK) et B : l -----+ Mn , 1 (JK) est continue, et (Eo)
différentielle linéaire sans second membre associée.
X'(t) = AX(t) + B(t) où
X'(t) = AX(t) l'équation
Nous aurons besoin, dans ce§ 7.3.6, de quelques résultats d'Algèbre linéaire (cf. Algèbre MPSI
et Algèbre et géométrie MP). Nous allons d'abord traiter le cas où A est diagonalisable. Puis, si
A n'est pas diagonalisable, en utilisant C, nous pourrons employer une trigonalisation. Enfin,
nous étudierons brièvement la notion d'exponentielle de matrice carrée.
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Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
On en déduit la solution générale de (S 0 ) :
(x,y) = a(t,1) +b(-e -
1 ,-te -
1
),
(a,b) E l!~.2,
!
x = at - be-'
c'est-à-dire:
(a,b) E JR 2 .
y= a -bte - '
2) Résolution de (S)
Conseils
D'après le Cours, l'ensemble des solutions
de (So) est un JR.-espace vectoriel de
dimension 2, et nous venons d'en trouver
une base.
Pour trouver une solution particulière de (S), on peut appliquer la méthode de Cf.8.3.S 2)Théorème.
variation des constantes : on cherche une solution particulière de (S) sous la forme
(x=at-be1 ,y=a-bte -
1 ),
où a,b:]l;+oo[--+IR sont des fonctions
inconnues, supposées dérivables.
On a:
!
(t - l)x' = x - y+ (t - l)(-t
2
+ t - 1) e -r
(S)
(t + J)y' =X - ty + (1 - 2t)(t + l ) e - /
= at - be - r - a + bt e _, + (t - 1 )(-t 2 + t - 1) e - r
~
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1 )
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1 -b(e -
1 - te -
1 ))
= at - be _, - at + bt 2 e - i + (1 - 2t)(t + 1) e - i
~ ! (t - 1 )(ta' - e - i b') = (t - l )(-t
2
+ t - 1) e - i
(t + l )(a' - te -
1
b' ) = (1 - 2t)(t + 1) e1
~ !ta' -e -
1 b'=(-t
2 +t-1)e -
1
a' - te -
1 b' = (1- 2t)e -
1
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(t 2 - l)a' = (t(-t 2 +t- l)-(l -2t))e -
1
= (-t 3 +t 2 +t- l)e -
1 = (t 2 - 1)(-t + l)e -
1
(t 2 - 1) e - i b' = ( - t 2 + t - 1 - t (1 - 2t)) e - i = (t 2 - 1) e - i
~ ! a'= (-t + l)e - ' {::= ! a= te1
b' = l
b = t.
Une solution particulière de (S) est donc :
!
x = at - be - i = t 2 e _, - te -t = (t 2 - t) e - i
y = a - bt e - i = te _, - t 2 e - i = (t - t 2 ) e - i.
Finalement, la solution générale de (S) est donnée par :
!
x(t) = at +be -t + (t
2 - t) e -
1
(a,b) E IR
2 .
y(t) = a + bt e - i + (t - t 2 ) e _,
Les termes en a et b disparaissent, selon la
méthode.
Par exemple, on combine linéairement les
équations, avec les coefficients :
On peut vérifier que (x ,y) est bien solution
de (5).
D'après le Cours, la solution générale de (5)
est la somme d'une solution particulière de
(5) et de la solution générale de (S 0 ) .
8.3.6 Systèmes différentiels linéaires du 1er ordre
à coefficients constants
Autrement dit, l'application
A: I-+ .C(E)
t f-+ A(t)
est ici supposée constante.
Nous envisageons ici l'équation différentielle linéaire (E)
A E Mn (JK) et B : l -----+ Mn , 1 (JK) est continue, et (Eo)
différentielle linéaire sans second membre associée.
X'(t) = AX(t) + B(t) où
X'(t) = AX(t) l'équation
Nous aurons besoin, dans ce§ 7.3.6, de quelques résultats d'Algèbre linéaire (cf. Algèbre MPSI
et Algèbre et géométrie MP). Nous allons d'abord traiter le cas où A est diagonalisable. Puis, si
A n'est pas diagonalisable, en utilisant C, nous pourrons employer une trigonalisation. Enfin,
nous étudierons brièvement la notion d'exponentielle de matrice carrée.