8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Exemple de résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients non constants
1
(t - l )x' = x - y+ (t - l )(-t
2
+ t - 1) e - i
Résoudre (S)
d'inconnues x,y :]1; +oo[----+ lR, la variable étant notée t.
(t + l)y' = X - t y + (1 - 2t)(t + 1) e - I
Solution
Il s'agit d'un système différentiel linéaire du premier ordre, à coefficients non
constants et avec second membre.
1) Résolution du système différentiel linéaire associé sans second membre
Considérons le système différentiel linéaire associé à (S) sans second membre :
1
(t - l) X
1 = X - y
(So)
(t + l )y' = X - ty.
On remarque que (x = t, y = 1) est solution évidente de (So) .
.
lx
On calcule le wronskien de (x,y ) : y x' 1=1 t
y'
1
D'après le Cours, on peut chercher une deuxième solution de (S 0 ) par la méthode
de variation des constantes sous la forme : (x,y) = À(t , 1) + µ,(1 ,0) , c'est-àdire : x = À.t + µ,, y =À, où À, µ, sont des fonctions inconnues, supposées dérivables.
On a alors:
1
( t - l )(À
1 t +À+ µ,' )= Àt + µ, - À
(So) {:::::::}
(t + 1 )À
1 = À.t + µ, - À.t
{: : : : : : : } 1 ( t - l)À
1 t + (t - 1 ) µ,' = µ,
( t + l ))..' = µ,
{: : : : : : : } 1 (t
2 - l ) µ, ' = (t + 1 - t(t - l )) µ,
(t + l)À' = µ,
1
(t 2 - l )µ,' = (-t 2 + 2t + l )µ,
{:::::::}
.
(t + l )À
1 = µ,
Il suffit donc de pre ndre :
( /
- t
2
+2t + 1 )
( / (
2t ) )
µ,(t) = exp
t 2
_ 1
dt = exp
- 1 + 12
_ 1
dt
= exp ( - t + ln (t
2 - 1)) = (t
2 - 1) e - i
et:
À.
1 (t) = µ,(t ) = (t - 1) e - i
t + 1
'
donc:
À(t) = f (t - 1) e - i dt = -te - t.
On obtient ainsi une solution particulière de (S 0 ) :
1
x = À.t + µ, = (-t e -
1 )t + (t
2 - 1) e -t = - e -
1
y= À= - t e -
1
•
Conseils
Mise en évidence d'une solution particulière de (So).
Cf. § 8.3.5 2).
Li ~ (1 + l ) L1 - t(t - l )L2.
On peut vérifier que (x, y ) est bien solution
de (So) .
461