Chapitre 8 • Équations différentielles
1
'i \ Rappel : B est le " second membre »
\j..) de(E):
y'= Ay +B.
On est donc ramené ici au calcul den
primitives.
Preuve
n
D'après la proposition précédente, il existe u 1, ... ,un : l -----+ lK continues telles que B = Lu; y;. On
i=I
n
cherche une solution de (E) de la forme y = L À; y;, où les À; : l -----+ lK sont supposées dérivables.
i= l
On a:
n
11
n
n
y'= Ay + B ~ LÀ;Yi + LÀ;y; = LÀ;Ay; + B ~ LÀ;y; = B
i= I
i= I
i= I
i=O
1 Il suffit donc de primitiver les u;.
~ (\:/ i E {l , ... ,n},À; = u;).
g Après calculs.
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
460
Remarques
1) En pratique, on peut souvent ne pas expliciter la décompositon de B sur les y;.
2) La méthode de variation des constantes fournit non seulement une solution de (E), mais
toutes les solutions de (E).
Exemple:
Résoudre le système différentiel (E)
{
{f
2 + ) )x ' = f X - y + 2t
(t 2 + 1)y' =x + t y -1'
d'inconnue (x ,y) : IR -----+ IR2 .
Nous avons déjà résolu le système sans second membre associé (cf. 8.3.4 1) Exemple
p. 457). Une base de So est ( (t r---+ ( 1, t) ), (t r---+ (t, -1))) . D'après la méthode de variation des constantes, nous cherchons une solution de (E) sous la forme :
{
x(t) = À(t) + tµ,(t)
(x(t),y(t)) = À(t)(l,t) + µ, (t)(t,- 1) , c'est-à-dire:
()
()
()
y t = tÀ t - J..l t
'
'
{(t2+1)(À
1 (t)+tµ,'(t))=2t
En reportant dans (E), on se ramene a :
( 2
)( '( )
, ))
t +l tÀ t -µ,(t =-1
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues donne
1
t
À (t) = 2
2,
(t + 1)
I
2t
2
+ 1
J..l (t) = (t2 + 1)2.
A l'aide d'un calcul de primitives, on peut prendre :
À(t) =
2(t2 + 1) '
3
t
µ,(t) = - Arctant -
2
.
2
2(t + 1)
1
3
1
x(t) = - - + - tArctant
On obtient ainsi une solution particulière de (E) :
;
2
y(t) = - 2
Arctan t
d'où la solution générale de (E) :
1 3
1
x(t) = - - + - tArctant +À+ µ,t
2 2
2
3
,(À,J..l) E IR .
y(t) = - 2
Arctan t + Àt - µ,