-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
On peut s'apercevoir que (x,y) :
t r-;. (1, 0) est solution évidente de
(Eo).
D'après8.3.3 Prop.2,So est un IK.-evde
même dimension que E, donc So
admet au moins une base ayant n
éléments.
Méthode pratique pour trouver une
solution de (E) connaissant une base
(y1 , ... ,yn) de l'espace vectoriel des
solutions de (Eo).
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
,., ,
,
.,
{ (l+t 2 )x' =tx- y
Nous avons deJa resolu le systeme sans second membre associe CEo) (l 2) /
+ t y =X+ ty
(cf. 8.3.4 1) Exemple p. 457). D'autre part, en cherchant une éventuelle solution (x,y)
de (E) te lle que x et y soient des fonctions polynomiales de degré ::( 1 , on s'apercoit que
(x,y) t: t---+ (1,0) est solution de (E).
{
IR -----+
IR2
}
Donc: S = t t---+ (1 +À+ µt,Àt - µ,); () .. ,µ,) E IR.2 .
2) Méthode générale : méthode de variation des constantes
Notons (YI , ... • Yn) une base de So.
Pour toute application z: I----+ E, il existe (u 1 , ••• ,un) E (E 1 )n unique tel que
n
z = LUiYi·
i=I
De plus, si z est de classe c
0 (resp. C
1
) sur/, alors u 1 , ... , un sont de classe c
0
(resp. C
1
) sur/.
Preuve
l
Notons B = ( e 1 , ... , en) une base de E , z 1 , ... , Zn : I -----+ lK les fonctions composantes de z relatin
vementàB: 'VtE/, z(t)=L:z;(t)e;.
i= l
(
z1(t))
Notons Z(t) =
:
,
(
u1(t))
U(t) =
:
, W (t) la matrice de (Y1 (t), . .. , Yn (t)) relativeZn (l)
Un (t)
ment à la base B; W(t) s'appelle la matrice wronskienne de (YJ , ... ,yn).
On a alors, pour tout t de I :
n
z(t) = Lu;(t)y;(t) {:::::::} Z(t) = W(t)U(t).
i= l
Pour tout t de / , puisque l'application y t---+ y(t) est un isomorphisme de So sur E et que (YJ, ... ,yn)
est une base de So, {yJ (!), ... ,yn (t)) est une base de E, et donc W (t) E GLn (IK).
On obtient alors : z = ~ u; y; {:::::::} ('V t E /, U (t) = (W (t))1 Z(t)).
ce qui montre l'existence et l'unicité des applications u 1 , ... , Un.
De plus, u 1 (t), ... ,un (t) s'expriment sous forme de sommes de produits des termes de (W (t))- 1 et de
Z (t) . Donc u 1 , ... , Un sont de classe c 0 (resp. C 1 ) lorsque z 1 , ... , Zn sont de classe c 0 (resp. C 1 ),
puisque les coefficients de (W (t)) - 1 sont de classe C 1 .
Méthode de variation des constantes
Supposons connue une base (y 1 , ••• ,yn) de So.
n
Il existe au moins une solution y de (E) de la forme y = L Ài Yi, où les
i=I
Ài
(1 :::::; i :::::; n) sont des applications I ----+ OC de classe C
1
•
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