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0
c
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0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
458
Chapitre 8 • Équations différentielles
Pourk E {I , ... ,n} ,séparéen
k E { 1 , ..• , p} OU
k E {p + 1, ... ,n }. on égale les
coordonnées sur ek de chacun des
deux membres dans l'égalité
précédente.
Pour tout t E l , la famille
(Ca~
1
) , C)) est libre, car son
déterminant n'est pas nul. Dans la
méthode générale précédente, on se
place dans le cas : n = 2, p = 1,
Y 1(t)=( l ).y2(t)= (
0
).
tant
1
L'écriture en colonnes, au lieu de lignes,
est plus lisible:
À Ca~ J + µ C + :tan J
(
À+ µt
)
=
Àtan t + µ (1 +/tant) ·
8.3.5
p
n
{:::::::}
p
n
!
Vk E {l, .. . , p}, Vt E /, r;À ;{t)1Jki(t) =;El À;(t)llk;(t)
VkE{p+l, ... ,n}, VtE/, L:>;(t)l]k;(t )+À~(t)= L À;(t)ak;(t).
i= l
i=p+l
Dans les p premières équations, on peut exprimer À' 1 , ... ,À~ en fonction de Àp+I··· .,Àn,
puisque la matrice affectant les À; (t) (1 ~ i ~ p ) est inversible, son déterminant valant
detB(Y1 (t), ... ,yp(t),e p+ 1, ... ,en). En reportant les expressions de À' 1 , ... ,À~ tirées des p premières équations dans les n - p dernières équations, on obtient un système différentiel d'inconnue (Àp+l •· .. ,Àn), ayant n - p équations (et n - p < n).
Supposons que l'on puisse trouver une solution (Àp+l •· .. ,Àn) =I= 0 de ce système différentiel;
on déduit alors À~, ... ,À~, puis À I •· .. ,Àp par primitivation, et donc une solution y de (Eo).
Comme (Àp+l •· .. ,Àn) =/= 0 , il est clair que (YI , ... ,yp,y) est libre.
En réitérant le procédé (si c'est possible), on obtient une base de So.
En pratique, souvent n = 2, p = 1 et l'étude théorique précédente est nettement simplifiée.
Exemple:
Résoudre le système différentiel (Eo )
(x ,y) :
][
][
'
l = l - - : - [ ~ R- .
2 2
{
x ' (I) = - x(l)tan t + y(I)
y 't) = x(I) + y(t) tan t '
Une solution évidente est donnée par (x(t) = 1, y(t) =tan t).
d'inconnue
Comme (Vt E /, 1
1
0
1
I= 1=I=0), on cherche une solution (x,y) de (Eo) de la
tant
{
x(t) = À(t)
forme (x(t),y(t)) = À(t)(l,tan t) + µ(t)(O , 1), c'est-à-dire
y(t) = À(t)tan t + µ(t) ·
En reportant dans (Eo), on est ramené à {
À'(t) = µ(t) .
µ'(t)=O'
prenons, par exemple, À(t) = t , µ(t) = l.
Alors (x,y): t f---+ t(l,tant) + 1(0,1) = (t, 1 +ttan t) est solution de (Eo) et forme système libre avec la première solution remarquée t f---+ (1, tant).
Finalement : Sa =
; (À ,µ) E fi! .
{
1 ~fi!
2}
t f---+ (À+ µt, Àtan t + µ(l + t tant))
Résolution de (E)
On a vu (cf. 8.3.3 p. 456) que, pour résoudre (E), il suffit de résoudre CEo) et de trouver une
solution particulière de (E) .
Supposons que l'on ait résolu CEo).
1) Cas où l'on dispose d'une solution évidente
Il se peut que (E) admette une solution évidente YI ; alors S ={YI+ Yo; YO E So}.
Exemple:
Résoudre le système différentiel (E)
d'inconnue (x ,y) : lR ~ JR 2 •
{
( 1 + t
2 )x' = rx - v - t
(1 + t
2 )y' =X+ ty - 1'
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Chapitre 8 • Équations différentielles
Pourk E {I , ... ,n} ,séparéen
k E { 1 , ..• , p} OU
k E {p + 1, ... ,n }. on égale les
coordonnées sur ek de chacun des
deux membres dans l'égalité
précédente.
Pour tout t E l , la famille
(Ca~
1
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déterminant n'est pas nul. Dans la
méthode générale précédente, on se
place dans le cas : n = 2, p = 1,
Y 1(t)=( l ).y2(t)= (
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).
tant
1
L'écriture en colonnes, au lieu de lignes,
est plus lisible:
À Ca~ J + µ C + :tan J
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À+ µt
)
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i= l
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Dans les p premières équations, on peut exprimer À' 1 , ... ,À~ en fonction de Àp+I··· .,Àn,
puisque la matrice affectant les À; (t) (1 ~ i ~ p ) est inversible, son déterminant valant
detB(Y1 (t), ... ,yp(t),e p+ 1, ... ,en). En reportant les expressions de À' 1 , ... ,À~ tirées des p premières équations dans les n - p dernières équations, on obtient un système différentiel d'inconnue (Àp+l •· .. ,Àn), ayant n - p équations (et n - p < n).
Supposons que l'on puisse trouver une solution (Àp+l •· .. ,Àn) =I= 0 de ce système différentiel;
on déduit alors À~, ... ,À~, puis À I •· .. ,Àp par primitivation, et donc une solution y de (Eo).
Comme (Àp+l •· .. ,Àn) =/= 0 , il est clair que (YI , ... ,yp,y) est libre.
En réitérant le procédé (si c'est possible), on obtient une base de So.
En pratique, souvent n = 2, p = 1 et l'étude théorique précédente est nettement simplifiée.
Exemple:
Résoudre le système différentiel (Eo )
(x ,y) :
][
][
'
l = l - - : - [ ~ R- .
2 2
{
x ' (I) = - x(l)tan t + y(I)
y 't) = x(I) + y(t) tan t '
Une solution évidente est donnée par (x(t) = 1, y(t) =tan t).
d'inconnue
Comme (Vt E /, 1
1
0
1
I= 1=I=0), on cherche une solution (x,y) de (Eo) de la
tant
{
x(t) = À(t)
forme (x(t),y(t)) = À(t)(l,tan t) + µ(t)(O , 1), c'est-à-dire
y(t) = À(t)tan t + µ(t) ·
En reportant dans (Eo), on est ramené à {
À'(t) = µ(t) .
µ'(t)=O'
prenons, par exemple, À(t) = t , µ(t) = l.
Alors (x,y): t f---+ t(l,tant) + 1(0,1) = (t, 1 +ttan t) est solution de (Eo) et forme système libre avec la première solution remarquée t f---+ (1, tant).
Finalement : Sa =
; (À ,µ) E fi! .
{
1 ~fi!
2}
t f---+ (À+ µt, Àtan t + µ(l + t tant))
Résolution de (E)
On a vu (cf. 8.3.3 p. 456) que, pour résoudre (E), il suffit de résoudre CEo) et de trouver une
solution particulière de (E) .
Supposons que l'on ait résolu CEo).
1) Cas où l'on dispose d'une solution évidente
Il se peut que (E) admette une solution évidente YI ; alors S ={YI+ Yo; YO E So}.
Exemple:
Résoudre le système différentiel (E)
d'inconnue (x ,y) : lR ~ JR 2 •
{
( 1 + t
2 )x' = rx - v - t
(1 + t
2 )y' =X+ ty - 1'