"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
C'est le point de vue adopté pour la
pratique des exercices et problèmes.
8.3.4
Autrement dit, nous allons déterminer
une solution y de (Eo) sur 1 qui n'est
pas dans le sev engendré par
YI ,. .. ·Yp·
Car, comme YI ,. .. ,yP sont solutions
de (E-0) sur / ,on a:
V t E / ,V i E { 1,. . ., p}.
donc:
Vt E / ,
p
y;(t) = A(t)y;(I),
I)-;
i= I
p
= L À;(f)A(f)y;(f) .
i= I
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Autrement dit, la solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière
de (E) et de la solution générale de (Eo). On voit ainsi que la résolution de (E) se
ramène à la résolution de (E 0 ) et à la détermination d'au moins une solution de (E).
Résolution de (Eo)
Notons n = dim(E) .
1) Cas où l'on dispose d'une famille libre den éléments de So
Puisque S 0 est un IK -ev de dimension n, si l'on dispose d'une famille libre (y 1 ,. •• ,yn)
de n éléments de So , alors la solution générale de (Eo) est combinaison linéaire de
y,,. .. ,yn, c'est-à-dire: So = jtÀiY i; (À1,. .. ,Àn) E ocn].
1=1
Exemple:
l
x' = ': ; ,;· d'inconnue (x. r) : R. -----+ IR2 •
X + f \'
.
v' = - - ·
.
1 + ,2
Résoudre le système différentiel (E 0 )
On remarque que Y1 : t ~ (1,t) et Y2 : t ~ (t, -1 ) sont solutions de (Eo) sur lR et forment famille libre. Donc l'ensemble So des solutions de (Eo) sur lR est :
{
lR -----+
JR2
Sa= t ~ (À+ µ,t ,M - µ,) ; (À,µ,) E JR
2 } .
2) Méthode générale
Soit p E {l,. .. ,n - 1} . Supposons connues des solutions YI ,. .. ,y" de (Eo) sur I formant
famille libre, et supposons qu'il existe ep+ J,. .. ,en E E tel s que, pour tout t de / ,
(y1 (t),. .. ,yp (t),ep+J,. .. ,en) soit une base de E. Nous allons montrer qu'il existe une soluP
n
tion y de (Eo) sur Ide la forme y = L À; Yi + L Àiei (où À I • ... ,Àn : I -----+ IK sont des
i= I
i=p+ I
applications à trouver, dérivables sur I) telle que (YJ,. .. ,yp,y) soit libre.
Puisque (ep+J ,. .. ,en) est libre dans E, d'après le théorème de la base incomplète, il existe
e1,. .. ,ep E E tels que B = (e1 ,. .. ,en) soit une base de E . Considérons, pour t E l , les composantes dans B des Yi (t)
1
'ri i E {l , .. ., p},
( 1 :::;; i :::;; p) et de A ( t) :
'rljE{l,. .. ,n} ,
n
Yi (t) = L T/ki (t)ek
k=I
n
A(t )ej = L akj (t)ek,
k= I
où les T/ki (resp. les akj) sont des applications connues et dérivables (resp. continues) .
On a: (V t E / , y'(t) = A(t)y(t))
(
p
p
n
{==>
vtE/,
trÀ;(t) y;ct)+ tr À;u)y;(t)+;E
1
À;u)e;
= ~ !.; (t)A (t)y; (t) + ,t,, !.; (t)A(t)'<)
=> (V t E / , t. !.;(t) y,(t) + ,t,, !.: (t)e, = ,t,, !., (t)A(t)<, )
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0
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C'est le point de vue adopté pour la
pratique des exercices et problèmes.
8.3.4
Autrement dit, nous allons déterminer
une solution y de (Eo) sur 1 qui n'est
pas dans le sev engendré par
YI ,. .. ·Yp·
Car, comme YI ,. .. ,yP sont solutions
de (E-0) sur / ,on a:
V t E / ,V i E { 1,. . ., p}.
donc:
Vt E / ,
p
y;(t) = A(t)y;(I),
I)-;
i= I
p
= L À;(f)A(f)y;(f) .
i= I
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Autrement dit, la solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière
de (E) et de la solution générale de (Eo). On voit ainsi que la résolution de (E) se
ramène à la résolution de (E 0 ) et à la détermination d'au moins une solution de (E).
Résolution de (Eo)
Notons n = dim(E) .
1) Cas où l'on dispose d'une famille libre den éléments de So
Puisque S 0 est un IK -ev de dimension n, si l'on dispose d'une famille libre (y 1 ,. •• ,yn)
de n éléments de So , alors la solution générale de (Eo) est combinaison linéaire de
y,,. .. ,yn, c'est-à-dire: So = jtÀiY i; (À1,. .. ,Àn) E ocn].
1=1
Exemple:
l
x' = ': ; ,;· d'inconnue (x. r) : R. -----+ IR2 •
X + f \'
.
v' = - - ·
.
1 + ,2
Résoudre le système différentiel (E 0 )
On remarque que Y1 : t ~ (1,t) et Y2 : t ~ (t, -1 ) sont solutions de (Eo) sur lR et forment famille libre. Donc l'ensemble So des solutions de (Eo) sur lR est :
{
lR -----+
JR2
Sa= t ~ (À+ µ,t ,M - µ,) ; (À,µ,) E JR
2 } .
2) Méthode générale
Soit p E {l,. .. ,n - 1} . Supposons connues des solutions YI ,. .. ,y" de (Eo) sur I formant
famille libre, et supposons qu'il existe ep+ J,. .. ,en E E tel s que, pour tout t de / ,
(y1 (t),. .. ,yp (t),ep+J,. .. ,en) soit une base de E. Nous allons montrer qu'il existe une soluP
n
tion y de (Eo) sur Ide la forme y = L À; Yi + L Àiei (où À I • ... ,Àn : I -----+ IK sont des
i= I
i=p+ I
applications à trouver, dérivables sur I) telle que (YJ,. .. ,yp,y) soit libre.
Puisque (ep+J ,. .. ,en) est libre dans E, d'après le théorème de la base incomplète, il existe
e1,. .. ,ep E E tels que B = (e1 ,. .. ,en) soit une base de E . Considérons, pour t E l , les composantes dans B des Yi (t)
1
'ri i E {l , .. ., p},
( 1 :::;; i :::;; p) et de A ( t) :
'rljE{l,. .. ,n} ,
n
Yi (t) = L T/ki (t)ek
k=I
n
A(t )ej = L akj (t)ek,
k= I
où les T/ki (resp. les akj) sont des applications connues et dérivables (resp. continues) .
On a: (V t E / , y'(t) = A(t)y(t))
(
p
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n
{==>
vtE/,
trÀ;(t) y;ct)+ tr À;u)y;(t)+;E
1
À;u)e;
= ~ !.; (t)A (t)y; (t) + ,t,, !.; (t)A(t)'<)
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