Chapitre 8 • Équations différentielles
8.3.3
\ 1 S est l'ensemble des solutions sur Ide:
~
(E) y'=Ay+B.
La Proposition 1 est conséquence de
l'existence et de l'unicité dans le
théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
'(
(Eo) :
y'= Ay
~
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
456
(E):
y'= Ay +B.
Un ensemble en bijection avec un
ensemble non vide est nécessairement
lui-même non vide.
Remarque : On vient de voir que toute solution maximale du problème de Cauchy (C) est
définie sur/.
Dans la suite de ce§ 8.3 nous ne nous intéresserons donc qu'à des solutions de (E) sur!.
Dans les§§ 8.3.3 à 8.3.5, nous gardons les notations de 8.3.1 Définition p. 451 ; c'est-à-dire que
I est un intervalle de ~. A : I ----+ L(E) continue, B : I ----+ E continue.
On note:
•
•
So l'ensemble des solutions de
S l'ensemble des solutions de
(Eo) y' = Ay sur I
(E) y'= Ay + B sur/.
Structures de 5 0 et de S
Pour tout t 0 del, l'application er 0 : S ~ E est bijective.
Yf--+ y(to)
Preuve
J
I) Pour tout YO de S, d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (8.3.2 Théorème p. 455), il existe
y E S telle que y(to) = YO· donc 81 0 est surjective.
2) Soient y,z ES telles que y(to) = z(to). Alors y et z sont solutions du problème de Cauchy
{ y' = Ay + B sur / , donc (cf. 8.3.2 Théorème p. 455) y = z. Ainsi 81 0 est injective.
y(to) = YO
1) L'ensemble So des solutions de (Eo) est un IK-ev de même dimension que E et
l'application S 0 ~ E est un isomorphisme de IK-ev.
Yf--+ y(to)
2) L'ensemble S des solutions de E est un OC-espace affine de direction S 0 , et l'application S ~ E est un isomorphisme d'espaces affines, E étant muni de sa strucYf--+ Y (to)
ture affine canoniquement associée à la structure vectorielle de E.
Preuve
! ) • So =/:- 0 carO E So.
•Soient À E IK,y,z E So ; on a alors:
(y + Àz)' = y' + ÀZ
1 = Ay + ÀAZ = A (y + ÀZ).
• Il est clair que yt---.- y(to)
2) • S =f. 0 puisque 81 0 : S ----+ E est bijective et que E =f. 0.
yt---.- y(to)
•Soit y E S fixé ; y existe d'après le point précédent.
D'une part:\:/ u E S 0 , y+ Àu ES, car, pour tout u E S 0 :
(y+ Àu)' =y'+ Àu
1 = (Ay + B) + ÀAu = A(y + Àu) +B .
D'autre part:\:/ z ES, z - y E So , car, pour tout z ES:
(z - y)' = z' - y' = (Az + B) - (Ay + B) = A(z - y).
Ceci montre que S est le sous-espace affme de E
1 passant par y et dirigé par S 0 .
• Il est clair que 8 10 : S ----+ E est affine et que l'application linéaire associée est yt---.- y(to)
yt---.- y(to)
puisque:
V (y,z) E S
2 ,
81 0 (y) - 81 0 (z) = y(to) - z(to) = (y - z)(to) =
•
8.3.3
\ 1 S est l'ensemble des solutions sur Ide:
~
(E) y'=Ay+B.
La Proposition 1 est conséquence de
l'existence et de l'unicité dans le
théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
'(
(Eo) :
y'= Ay
~
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
456
(E):
y'= Ay +B.
Un ensemble en bijection avec un
ensemble non vide est nécessairement
lui-même non vide.
Remarque : On vient de voir que toute solution maximale du problème de Cauchy (C) est
définie sur/.
Dans la suite de ce§ 8.3 nous ne nous intéresserons donc qu'à des solutions de (E) sur!.
Dans les§§ 8.3.3 à 8.3.5, nous gardons les notations de 8.3.1 Définition p. 451 ; c'est-à-dire que
I est un intervalle de ~. A : I ----+ L(E) continue, B : I ----+ E continue.
On note:
•
•
So l'ensemble des solutions de
S l'ensemble des solutions de
(Eo) y' = Ay sur I
(E) y'= Ay + B sur/.
Structures de 5 0 et de S
Pour tout t 0 del, l'application er 0 : S ~ E est bijective.
Yf--+ y(to)
Preuve
J
I) Pour tout YO de S, d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (8.3.2 Théorème p. 455), il existe
y E S telle que y(to) = YO· donc 81 0 est surjective.
2) Soient y,z ES telles que y(to) = z(to). Alors y et z sont solutions du problème de Cauchy
{ y' = Ay + B sur / , donc (cf. 8.3.2 Théorème p. 455) y = z. Ainsi 81 0 est injective.
y(to) = YO
1) L'ensemble So des solutions de (Eo) est un IK-ev de même dimension que E et
l'application S 0 ~ E est un isomorphisme de IK-ev.
Yf--+ y(to)
2) L'ensemble S des solutions de E est un OC-espace affine de direction S 0 , et l'application S ~ E est un isomorphisme d'espaces affines, E étant muni de sa strucYf--+ Y (to)
ture affine canoniquement associée à la structure vectorielle de E.
Preuve
! ) • So =/:- 0 carO E So.
•Soient À E IK,y,z E So ; on a alors:
(y + Àz)' = y' + ÀZ
1 = Ay + ÀAZ = A (y + ÀZ).
• Il est clair que yt---.- y(to)
2) • S =f. 0 puisque 81 0 : S ----+ E est bijective et que E =f. 0.
yt---.- y(to)
•Soit y E S fixé ; y existe d'après le point précédent.
D'une part:\:/ u E S 0 , y+ Àu ES, car, pour tout u E S 0 :
(y+ Àu)' =y'+ Àu
1 = (Ay + B) + ÀAu = A(y + Àu) +B .
D'autre part:\:/ z ES, z - y E So , car, pour tout z ES:
(z - y)' = z' - y' = (Az + B) - (Ay + B) = A(z - y).
Ceci montre que S est le sous-espace affme de E
1 passant par y et dirigé par S 0 .
• Il est clair que 8 10 : S ----+ E est affine et que l'application linéaire associée est yt---.- y(to)
yt---.- y(to)
puisque:
V (y,z) E S
2 ,
81 0 (y) - 81 0 (z) = y(to) - z(to) = (y - z)(to) =
•