1
~ \ R~ppel de notation :
\Y dtag(À1 , ... ,À,, )
= (À I
Ü) •
0
À,,
En pratique, on sait calculer D et P
(voir Algèbre et géométrie MP).
r
( Vi 1 ... 1 V,,) désigne ici la matrice
\J.., carrée P dont les colonnes sont, dans
l'ordre, V1 , ... , V,,.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Résultat utile en pratique, car souvent
directement applicable.
~ Après calculs.
8.3 ·Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
1) Cas où A est diagonalisable
a) Résolution de (Eo)
On note Dn (IK) l'ensemble des matrices diagonales à coefficients dans !K. Puisque A
est diagonalisable dans Mn(IK) ,il existe D = diag(À1 , . .. ,Àn) E Dn(IK) (où À1,. .. ,Àn
sont les valeurs propres de A) et P E GLn(IK) (dont les colonnes forment une base
de vecteurs propres pour A respectivement associés à À 1 ,. .. ,Àn) telles que
A = PD p - 1 . Alors :
(Eo) {:::::::}X'= PDP1 X {:::::::} p -
1
x
1 = DP1 X.
Notons Y = p - 1 X. Puisque P est constante (c'est-à-dire ne dépend pas de t),
on a (cf. 2.2.7. Prop.): Y' = p - 1 X'. Ainsi: (Eo) {:::::::}Y' = DY.
En notant CJ ~Y, on obtient •
(Eo) {:::::::}V i E {l,. .. ,n}, l = ÀiYi
{:::::::} Vi E {l,. .. ,n}, 3Cj E IK, Vt E / , Yi(t) = CjeÀ; f .
En revenant à X (t), et en notant Vi, ... , Vn les colonnes de P :
n
"""'
À t V:
= L:__, Cie ' i·
Î=I
Résumons l'étude :
Soit A E Mn(IK) diagonalisable. La solution générale de (Eo) X'= AX (inconnue
X : l ----* Mn , 1 (IK)) est définie par :
n
Vt E / , X(t) = LcieÀ;tvi ,
i=I
V1 , ... , Vn une base de vecteurs propres pour A
{
À 1 , . .. , Àn sont les valeurs propres de A
où
respectivement associés à À 1 , ••• , À. 11
c1 ,. .. ,en E IK quelconques.
Remarques:
1) Le calcul de p - I est inutile pour la résolution de (Eo).
2) Si lK = ~ et si A E Mn(~) est diagonalisable dans M,, (([) et non dans Mn(~), on obtiendra, par le théorème précédent, les solutions de (E) à valeurs complexes et on en déduira
celles qui sont à valeurs réelles .
Exemple :
,
1
'
(
~ 1
Resoudre X = AX, ou A =
0 0
- 1
- 1
2
- 1
~) , d'inconnue X • lR ~ M , .,(IR),
On calcule le polynôme caractéristique XA de A , et on trouve :
XA () .. ) = (À - l)(À - 2)(À 2 + 1).
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