8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
-0
0
Solution
La fonction y admet une limite finie en -1 si et seulement siµ 1 = µ 2 = 0, et cette
limite est alors égale à -2.
Alors, y : l ---+ IR, x f---+ x - 1 et y est solution de (e) sur/.
• Cas - l ~ l et l E l
Soit (µ1,µ2) E IR 2 .
1
x-1
X -1 +µ , - -
Notons : y : l - { 1} ---+ IR, x f---+
~ ~ {
X - 1 + µ 2 - -
X +}
On a: y(x) ---+ 0 et y(x) ---+ O.
X-----+ ( -
X---4- 1+
On prolonge donc y en 1 par y( l ) = O.
si X < 1
Si X > 1.
Alors, y est dérivable sur ] - oo; 1 [ n l et sur l n ] 1 ; +oo[ et on a :
D'où:
1
1 + 2µ1
(x + 1)2
y'(x) =
1 + 2µ2
(x + 1)
2
si X < 1
Si X> 1.
y'(x) ---+ 1 + ~ et y'(x) ---+ l + µ
2
•
X ---> J2
X ---> 1+
2
Donc, il y a raccord pour y' si et seulement si µ 1 = µ 2, et alors y'( l ) = 1 + ~
1
•
•Cas- 1 E l et l E l
D'après l'étude du cas -1 E / , la seule solution possible est y : x f---+ x - l , et
elle convient.
Finalement, l'ensemble S des solutions de (e) sur /, pour tout intervalle ouvert l
de IR, est:
l{
y :l---+ R X f---+ y(x)=x -1+µ x- l;µ EIR } si -1~/
S=
x+ l
{y : / ---+ JR, X f---+ X - 1}
Si
- 1 E /.
§
Résolution d'une équation fonctionnelle par intervention d'une ED
0
Trouver toutes les applications f :] - l ; l[---+ IR dérivables telles que:
'
l
Vx E ] - 1; l[, f (x)f(-x) = -
1
- 2
.
- x
Solution
1) Soit f convenant.
Alors, pour tout x E ] - 1; 1[ :
I
1
f (x)f(-x) = 1
_ x 2
1
et
j'(-x)f(x) = -
1
- -
2
,
-x
d'où: f'(x)f(-x) - f'(-x)f(x) =O.
Conseils
Si µ, 1 # 0, alors y(x) -+ ±oo.
X"'"'- JSi µ,J =0, alors,pourx <- 1,y(x)=x- 1.
On étudie le raccord en 1.
Conseils
On applique l'hypothèse à x et à -x.
453