-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
......,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
454
Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
Considérons l'application g :] -1; l[-----+ IR, x f----+ g(x) = j(x)f(-x).
L'application g est dérivable sur] - 1; 1 [ et, pour tout x E] - 1; 1 [ :
g' (x) = f ' (x)f(-x) - f(x)f' (-x) =O.
Il existe donc CE IR tel que: \lx E]-1; 1[, g(x) = C.
On obtient, pour tout x E ] - 1 ; 1 [ :
1
Cf'(x) = (f(x)f(-x))f' (x) = (f' (x)f(-x))f(x) =
1
_ x 2 f(x).
D'autre part, commef(O)f'(O) = 1-::/= 0, on af(O)-::/= 0, puis C = (!(0))
2
-::/= O.
On a donc:
1
VxE]-1;1[, f ' (x)2
f(x)=O.
C(l -X )
La résolution de cette ED montre qu'il existe À E IR tel que, pour tout x E] - 1 ; 1 [ :
(/ 1 )
( 1 l+x) (l +x)- dë
f(x)=Àexp
2 dx =Àexp - ln - - =À - -
.
C(l - X )
2C
1 - X
1 - X
2)
Réciproquement,
soient
(À, C) E IR x IR*
et
f :] - 1 ; 1 [ -----+ IR,
(
l +x)- dë
X f----+ À - -
•
1- x
L'application f est dérivable sur ] - 1; 1 [ et, pour tout x E ] - 1; 1 [ :
1
, l (1 +x) u:1
2
f(x) =À2C 1-x
(l-x)2
et
(
1 -x) - dë
f (-x) = À ] +X
'
donc:
,
)...
2 1- x
1
)... 2
f (x)f(-x) = C 1 + x (l - x) 2 = C-1---x- 2 ·
À2
Il en résulte que f convient si et seulement si : C = 1.
On conclut que l'ensemble S des applications convenant est:
{
( 1 +x ) ~
}
S = f :] - l; l[ -----+ IR, x f----+ À l _ x
; À E IR* .
Les méthodes à retenir
Conseils
Définition de C et hypothèse de l'énoncé.
On remplace x par 0 dans l'hypothèse de
l'énoncé.
f est solution d'une ED linéaire du premier
ordre, sans second membre.
Equations différentielles linéaires scalaires du premier ordre (Révision de MPSI)
• Pour résoudre une ED linéaire du premier ordre avec second membre (e) (ex. 8.3.1), commencer par normaliser (e), ce qui donne une ED (E), à résoudre sur certains intervalles. Pour résoudre (E), commencer par résoudre
l'ED linéaire associée sans second membre (Eo), puis chercher une solution particulière de (E) par l'une des
méthodes suivantes : solution évidente, principe de super-position des solutions, méthode de variation de la
constante (Analyse MPSI, § 10.1.3). Revenir enfin à (e) en étudiant les éventuels raccords nécessaires.
• Pour déterminer une solution d'une ED linéaire du premier ordre satisfaisant une condition supplémentaire
(ex. 8.3.2, 8.3.3), déterminer d'abord toutes les solutions de cette ED (en faisant éventuellement intervenir un symbole de primitivation), puis, parmi ces solutions, chercher celle (celles) qui satisfait (satisfont) la condition imposée.
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Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
Considérons l'application g :] -1; l[-----+ IR, x f----+ g(x) = j(x)f(-x).
L'application g est dérivable sur] - 1; 1 [ et, pour tout x E] - 1; 1 [ :
g' (x) = f ' (x)f(-x) - f(x)f' (-x) =O.
Il existe donc CE IR tel que: \lx E]-1; 1[, g(x) = C.
On obtient, pour tout x E ] - 1 ; 1 [ :
1
Cf'(x) = (f(x)f(-x))f' (x) = (f' (x)f(-x))f(x) =
1
_ x 2 f(x).
D'autre part, commef(O)f'(O) = 1-::/= 0, on af(O)-::/= 0, puis C = (!(0))
2
-::/= O.
On a donc:
1
VxE]-1;1[, f ' (x)2
f(x)=O.
C(l -X )
La résolution de cette ED montre qu'il existe À E IR tel que, pour tout x E] - 1 ; 1 [ :
(/ 1 )
( 1 l+x) (l +x)- dë
f(x)=Àexp
2 dx =Àexp - ln - - =À - -
.
C(l - X )
2C
1 - X
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2)
Réciproquement,
soient
(À, C) E IR x IR*
et
f :] - 1 ; 1 [ -----+ IR,
(
l +x)- dë
X f----+ À - -
•
1- x
L'application f est dérivable sur ] - 1; 1 [ et, pour tout x E ] - 1; 1 [ :
1
, l (1 +x) u:1
2
f(x) =À2C 1-x
(l-x)2
et
(
1 -x) - dë
f (-x) = À ] +X
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donc:
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1
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f (x)f(-x) = C 1 + x (l - x) 2 = C-1---x- 2 ·
À2
Il en résulte que f convient si et seulement si : C = 1.
On conclut que l'ensemble S des applications convenant est:
{
( 1 +x ) ~
}
S = f :] - l; l[ -----+ IR, x f----+ À l _ x
; À E IR* .
Les méthodes à retenir
Conseils
Définition de C et hypothèse de l'énoncé.
On remplace x par 0 dans l'hypothèse de
l'énoncé.
f est solution d'une ED linéaire du premier
ordre, sans second membre.
Equations différentielles linéaires scalaires du premier ordre (Révision de MPSI)
• Pour résoudre une ED linéaire du premier ordre avec second membre (e) (ex. 8.3.1), commencer par normaliser (e), ce qui donne une ED (E), à résoudre sur certains intervalles. Pour résoudre (E), commencer par résoudre
l'ED linéaire associée sans second membre (Eo), puis chercher une solution particulière de (E) par l'une des
méthodes suivantes : solution évidente, principe de super-position des solutions, méthode de variation de la
constante (Analyse MPSI, § 10.1.3). Revenir enfin à (e) en étudiant les éventuels raccords nécessaires.
• Pour déterminer une solution d'une ED linéaire du premier ordre satisfaisant une condition supplémentaire
(ex. 8.3.2, 8.3.3), déterminer d'abord toutes les solutions de cette ED (en faisant éventuellement intervenir un symbole de primitivation), puis, parmi ces solutions, chercher celle (celles) qui satisfait (satisfont) la condition imposée.