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Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
Il s'agit d'une ED linéaire du premier ordre avec second membre.
1) Résolution de (e) sur I =] - oo; -1 [ ou] - 1 ; 1[ ou ]l ; +oo[
On note:
(E)
,
2
(x - 1) 2
y - x 2 - 1 y = x 2 - 1
et:
'
2
(Eo) y - x2 - 1 y =O.
• Résolution de (Eo)
La solution générale de (E 0 ) est
X - I
Quitte à changer À en - À, la solution générale de (E 0 ) est : y : x 1----+ À- - ,
x+ I
À E lH?..
• Résolution de (E)
On applique la méthode de variation de la constante : on cherche une solution y
x -1
de (E) sous la forme y : x 1----+ y (x) = À(x) - - , où À : I -----+ IR est une fonction
x+ l
inconnue, supposée dérivable.
On a, en reportant dans (E) :
1
X - 1
(X - 1) 2
(E) {==} V X E / , À (x) X+ l = x2 - l
{==} V x E / , À
1 (x) = 1
~Vx E / , À(x) =X .
x- 1
Ainsi, une solution particulière de (E) sur I est : y : x 1----+ x - - .
x+l
La solution générale de (E) sur I est :
x- 1
x- 1
y: I-----+ IR, X t----+ x - - +À- - , À E IR.
x+ l
x+l
On remarque :
x- l
x-l
x-l
x-1
x - - +À- - = (x +À) - - = (x + 1 + (À-1)) - -
x + l
x+l
x+l
x+l
x- 1
=x-l+(À-1) - - .
x+l
Ainsi, la solution générale de (E) sur I est :
x-1
y: I -----+ IR, X t----+ X - 1 + µ.--, µ. E IR .
x+l
2) Résolution de (e) sur un intervalle ouvert de IR contenant -I ou l
• Cas -1 E T et 1 f/. T
Soit (µ., ,µ.2) E IR
2 .
X -1 +µ.1 - -
1
x- 1
Notons : y : I - { - 1} -----+ IR, x 1----+
~ ":!= Î
x- 1 + µ. 2 - -
x+ l
si X < - 1
Si X > - 1.
Conseils
On normalise (e). On a :
x
2 - ] = 0 {::::::::}X = - ] OU X = J.
(Eo) est l'ED sans second membre associée
à l'ED linéaire (E).
On ne remarque pas de solution évidente
de (E).
Les termes en À.(x) s'éliminent.
On peut choisir la constante d'intégration,
puisqu'on cherche une fonction À.
convenant.
On pouvait d'ailleurs remarquer que
x ~ x - 1 est solution assez simple de (E)
sur ~ .
On va étudier le raccord en - 1.