xo
Ona pris:À = - - exo.
Yo
On calcule y' pour étudier les variations
de y.
Pour tout À < 0 :
ex+ À = 0 {=:> x = - ln(-À),
et - ln ( - À) E IR'.f. {=:> À< - 1.
Rappel : À= xo - exo.
Yo
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
X
Cherchons maintenant les intervalles (inclus dans IR+) sur lequels x f----+
xo
ex+ _ - exo
YO
est solution de (E). La résolution de l'équation ex + xo - exo = 0 (d'i nconnue x E IR) conduit
YO
à la discussion suivante, dans laquelle on note À = xo - exo,
YO
X
x ~ ex- 1
X
L'application x f----+ ex + À est définie sur JO; +oo[ et est une solution de (E) sur JO; +oo[
(d'après a)) ; c'est donc la solution maximale de Cx 0 ,y 0 .
Etudions l'allure de la courbe représentative de cette solution maximale y : JO; +oo[---+ IR .
1
F(x )
On a: V x EJO; +oo[, y (x) =
2
,
(eX +À)
où F(x ) =ex +À-xex, puis F'(x) = -xex < O.
D'où les variations de y, puis l'allure de la courbe représentative de y.
X
0
+oo
F ' (x)
l + À
~ 1
F (x)
+
O~1 -
-
1
- OO
y'(x)
l +À
+
0
y (x)
o/
~ 0
X
Si À = - 1, alors y : x f----+ eX - }
{3 ) Cas où À < - 1
X
y
.. ..
0
.\0
La fonction x f----+ - - n'est définie que sur JO; + oo[-{ln(- À) }.
eX +À
•Supposons YO > O.
X
x~e+À
.. __ _(rl
...... .. . .
X
Alors ln(-À) < xo ; l'application Jln (-À); + oo[---+ IR est solution de Cx 0 ,y 0 et c'est la
X
x~ ex+À
solution maximale de Cx 0 ,y 0 car elle ne peut pas être prolongée à gauche de ln (- À), vu que
X
- -
+oo .
ex + À x---> ln(- À)+
• Si YO < 0 , par le même raisonnement, la solution maximale de Cx 0 ,y 0 est l'application
JO; ln ( - À)[---+ IR.
X
x~ex +À
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Ona pris:À = - - exo.
Yo
On calcule y' pour étudier les variations
de y.
Pour tout À < 0 :
ex+ À = 0 {=:> x = - ln(-À),
et - ln ( - À) E IR'.f. {=:> À< - 1.
Rappel : À= xo - exo.
Yo
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
X
Cherchons maintenant les intervalles (inclus dans IR+) sur lequels x f----+
xo
ex+ _ - exo
YO
est solution de (E). La résolution de l'équation ex + xo - exo = 0 (d'i nconnue x E IR) conduit
YO
à la discussion suivante, dans laquelle on note À = xo - exo,
YO
X
x ~ ex- 1
X
L'application x f----+ ex + À est définie sur JO; +oo[ et est une solution de (E) sur JO; +oo[
(d'après a)) ; c'est donc la solution maximale de Cx 0 ,y 0 .
Etudions l'allure de la courbe représentative de cette solution maximale y : JO; +oo[---+ IR .
1
F(x )
On a: V x EJO; +oo[, y (x) =
2
,
(eX +À)
où F(x ) =ex +À-xex, puis F'(x) = -xex < O.
D'où les variations de y, puis l'allure de la courbe représentative de y.
X
0
+oo
F ' (x)
l + À
~ 1
F (x)
+
O~1 -
-
1
- OO
y'(x)
l +À
+
0
y (x)
o/
~ 0
X
Si À = - 1, alors y : x f----+ eX - }
{3 ) Cas où À < - 1
X
y
.. ..
0
.\0
La fonction x f----+ - - n'est définie que sur JO; + oo[-{ln(- À) }.
eX +À
•Supposons YO > O.
X
x~e+À
.. __ _(rl
...... .. . .
X
Alors ln(-À) < xo ; l'application Jln (-À); + oo[---+ IR est solution de Cx 0 ,y 0 et c'est la
X
x~ ex+À
solution maximale de Cx 0 ,y 0 car elle ne peut pas être prolongée à gauche de ln (- À), vu que
X
- -
+oo .
ex + À x---> ln(- À)+
• Si YO < 0 , par le même raisonnement, la solution maximale de Cx 0 ,y 0 est l'application
JO; ln ( - À)[---+ IR.
X
x~ex +À
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