Chapitre 8 • Équations différentielles
8.2.2
f/J L'énoncé impose 1 c lO; +oo[ .
r: \ Une équation de Bernoulli est une ED
\J.J de la forme :
y'+ ay + by 2 = 0,
où a, b sont des fonctions.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
440
A priori, il se pourrait que (E) admette
des solutions autres que la fonction
nulle, et s'annulant en certains points de
1. Le§ b) suivant va démontrer que ce
n'est pas le cas.
On a vu dans a) l'utilité de la condition
y(x) #O. On va montrer ici que, si
Yo # 0, alors la solution y trouvée en
a) et telle que y(xo) = Yo est la
solution maximale du problème de
{
(E)
Cauchy
y(xo) = YO ·
Exemples d'utilisation du théorème
de Cauchy-Lipschitz
Nous allons traiter plusieurs sortes d'exemples :
1) un exemple d'ED résolue en y', dans lequel les solutions sont exprimables au moyen des fonctions usuelles
2) un exemple d'ED résolue en y' dans lequel les solutions ne paraissent pas pouvoir s'exprimer
au moyen des fonctions usuelles, et dans lequel on dispose de façon évidente d'une précision sur
le sens de variation des solutions
3) un exemple du mê me type que 2), mais sans re nseignement immédiat sur le sens de variation
des solutions
4) un exemple de système différentiel autonome.
La variable est ici notée x.
1
e .t
1) Résolution de l'ED (E) y' - - y + - y
2 = 0, d'inconnue y : l ~ R I C JR' .tx
X
a) Résolution « formelle » impaifaite
Il s'agit d'une équation de Bernoulli. En supposant que y : l ~ lR ne s'annule en aucun point,
1
1
X
on note z = .:..., et on est ramené à l'ED (F) z' + -z - :._ = O.
y
X
X
L'ED (F) est une ED linéaire du 1er ordre (cf. Analyse MPSI, 10.1.1). La solution générale de
À
l'équation sans second membre xz' + z = 0 est z : x ~ - (À E JR). Une solution particulière
X
de l'équation avec second membre (F) s'obtient par la méthode de variation de
la constante (cf. Analyse MPSI, 10.1.3 3) 3)), qui fournit d'ailleurs la solution générale
À
1
~
on note z = - où À est une fonction inconnue, et on a : z' + - z - - = 0 {==> >..' = ex.
X
X
X
La solution générale de (F), sur tout intervalle inclus dans JR~,
est donc
ex+>..
X
Z : X ~ - -
(À E JR), d'où y : X ~ - -.
X
eX +>..
Par cette méthode, on n'obtient que les solutions y : l ~ lR de (E) vérifiant:
'V x E / , y(x) #O.
Il est clair, d' autre pat, que la fonction nulle est solution de (E) sur tout intervalle l inclus
dans JR~.
b) Etude « rigoureuse »
Nous nous proposons de déterminer l'ensemble E des couples (! ,y) ou lest un intervalle de lR
inclus dans JR~ et y une solution de (E) sur !.
Noton s U = JR~ x lR (qui est un ouvert de lR x JR) et f : U ~ lR définie par
y_ exy2
f(x ,y) = - - -
x
L'application f est de classe C
1 sur l'ouvert U.
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz (8.2.1 3) p. 437), pour tout (xo,yo) de U, le
bl ,
d C h C
{y' = f(x,y) d
1 ·
· 1
1
pro eme e auc y xo.Yo
(
a met une so utlon maxima e et une seu e, et
Y xo) = Yo
l'intervalle de définition de cette solution maximale est ouvert.
Soit (xo,Yo) E U. Si YO = 0, il est clair que l'application ]0; +oo[ ~ lR est la solution maximale de Cxo.Yo·
x1----+0
Supposons donc YO # O.
X
Il est clair qu'il existe À E lR unique tel que l'application y : x ~ - - - (trouvée en a)) vériex +>..
fie y(xo) = YO ; en effet, l'équation _x_o_ = yo, d' inconnue À E JR, admet une solution et une
e xo +À
XQ
X
seule, qui est: À = - - e o.
YO
8.2.2
f/J L'énoncé impose 1 c lO; +oo[ .
r: \ Une équation de Bernoulli est une ED
\J.J de la forme :
y'+ ay + by 2 = 0,
où a, b sont des fonctions.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
440
A priori, il se pourrait que (E) admette
des solutions autres que la fonction
nulle, et s'annulant en certains points de
1. Le§ b) suivant va démontrer que ce
n'est pas le cas.
On a vu dans a) l'utilité de la condition
y(x) #O. On va montrer ici que, si
Yo # 0, alors la solution y trouvée en
a) et telle que y(xo) = Yo est la
solution maximale du problème de
{
(E)
Cauchy
y(xo) = YO ·
Exemples d'utilisation du théorème
de Cauchy-Lipschitz
Nous allons traiter plusieurs sortes d'exemples :
1) un exemple d'ED résolue en y', dans lequel les solutions sont exprimables au moyen des fonctions usuelles
2) un exemple d'ED résolue en y' dans lequel les solutions ne paraissent pas pouvoir s'exprimer
au moyen des fonctions usuelles, et dans lequel on dispose de façon évidente d'une précision sur
le sens de variation des solutions
3) un exemple du mê me type que 2), mais sans re nseignement immédiat sur le sens de variation
des solutions
4) un exemple de système différentiel autonome.
La variable est ici notée x.
1
e .t
1) Résolution de l'ED (E) y' - - y + - y
2 = 0, d'inconnue y : l ~ R I C JR' .tx
X
a) Résolution « formelle » impaifaite
Il s'agit d'une équation de Bernoulli. En supposant que y : l ~ lR ne s'annule en aucun point,
1
1
X
on note z = .:..., et on est ramené à l'ED (F) z' + -z - :._ = O.
y
X
X
L'ED (F) est une ED linéaire du 1er ordre (cf. Analyse MPSI, 10.1.1). La solution générale de
À
l'équation sans second membre xz' + z = 0 est z : x ~ - (À E JR). Une solution particulière
X
de l'équation avec second membre (F) s'obtient par la méthode de variation de
la constante (cf. Analyse MPSI, 10.1.3 3) 3)), qui fournit d'ailleurs la solution générale
À
1
~
on note z = - où À est une fonction inconnue, et on a : z' + - z - - = 0 {==> >..' = ex.
X
X
X
La solution générale de (F), sur tout intervalle inclus dans JR~,
est donc
ex+>..
X
Z : X ~ - -
(À E JR), d'où y : X ~ - -.
X
eX +>..
Par cette méthode, on n'obtient que les solutions y : l ~ lR de (E) vérifiant:
'V x E / , y(x) #O.
Il est clair, d' autre pat, que la fonction nulle est solution de (E) sur tout intervalle l inclus
dans JR~.
b) Etude « rigoureuse »
Nous nous proposons de déterminer l'ensemble E des couples (! ,y) ou lest un intervalle de lR
inclus dans JR~ et y une solution de (E) sur !.
Noton s U = JR~ x lR (qui est un ouvert de lR x JR) et f : U ~ lR définie par
y_ exy2
f(x ,y) = - - -
x
L'application f est de classe C
1 sur l'ouvert U.
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz (8.2.1 3) p. 437), pour tout (xo,yo) de U, le
bl ,
d C h C
{y' = f(x,y) d
1 ·
· 1
1
pro eme e auc y xo.Yo
(
a met une so utlon maxima e et une seu e, et
Y xo) = Yo
l'intervalle de définition de cette solution maximale est ouvert.
Soit (xo,Yo) E U. Si YO = 0, il est clair que l'application ]0; +oo[ ~ lR est la solution maximale de Cxo.Yo·
x1----+0
Supposons donc YO # O.
X
Il est clair qu'il existe À E lR unique tel que l'application y : x ~ - - - (trouvée en a)) vériex +>..
fie y(xo) = YO ; en effet, l'équation _x_o_ = yo, d' inconnue À E JR, admet une solution et une
e xo +À
XQ
X
seule, qui est: À = - - e o.
YO