Chapitre 8 · Équations différentielles
Finalement, les solutions de (E) sont les
fonctions trouvées ci-dessus et leurs
restrictions à un sous-intervalle de leur
intervalle de définition.
\ r; \ Une équation de Riccati est une ED de
\J.) la forme :
y'+ay+by
2 =c,
-0
0
c
::J
0
où a,b,c sont des fonctions.
~ N .
N\:_l.l Raisonnement par l'absurde.
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
442
1
Astucepourcetexemple:considérer y 2 ,
y
1
qui est la dérivée de - - .
y
Allure de la courbe représentative de la solution maximale :
si YO > 0
y
-"11 ...... .... ........ _
0
ln ( À)
'o
X
si YO < 0
y
1
·---. __________ ----. --------------(y )
-----------y
X
On a regroupé sur le schéma de droite quelques courbes intégrales représentant des solutions
maximales.
2) Etude qualitative des solutions maximales de l'ED
d'inconnue y à valeur réelles
(E) y' = x2 + y2 '
Il s'agit d'une équation de Riccati mais, comme aucune solution de (E) n'est apparente, nous
n'arrivons pas à exprimer une solution de (E) au moyen des fonctions usuelJes (contrairement à
l'exemple précédent).
Considérons U = IR 2 (qui est un ouvert de IR 2 ) et f : U ---+ IR . Comme f est de classe C 1
(x , y) ~ x2+y2
sur U, d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz (8.2.1 3) p. 437), pour tout (xo .Yo) de IR 2 , il
C
{
y' = f(x ,y) t
existe une solution maximale et une seule du problème de Cauchy
x 0 .y 0
y(xo) = YO , e
l'intervalle de définition de cette solution maximale est ouvert.
Soit (xo.Yo) E IR 2 ; notons y : I ---+ IR la solution maximale de Cx 0 ,y 0 et remarquons que y est
croissante sur I puisque :
V x E / , y'(x) = x 2 + (y(x)) 2 ~ 0.
Nous allons montrer que I est borné.
• Supposons que I ne soit pas majoré ; il existe a E IR tel que [a; +oo[ C I.
Comme y'= x 2 + y 2 ~ x 2 , y'(x)-----+ + oo, et on en déduit aisément
x--->+oo
y(x) = rx y' (t) dt + y(a) -----+ +OO.
la
x--->+oo
En particulier, il existe b E]a ; +oo[ tel que: V x E [b; +oo[, y(x) > O.
On a alors, pour x ~ b :
1
x y'(t) 1x t 2 + (y(t))2 1x
- - - dt =
dt ~
dt = X - b -----+ + OO
b (y(t))2
b
(y(t))2
b
x --->+oo
et
l
x y' (t)
[
1 ] "
1
b (y(t ))2 dt= - y(t) b = y(b) - y(x) ~ y(b),
contradiction.