Autrement dit, une solution maximale de
(C) est une solution de (C) qui
n'admet pas de prolongement (autre
qu'elle-même) qui soit aussi une solution
de (C).
~ Théorème fondamental.
-0
0
c
::J
0
(V)
.--t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
"i:
>- a.
t Raisonnement par l'absurde.
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
Les résultats du 1) montrent qu'il est utile de s'intéresser aux couples (!,y) de [ 10 ,y 0 tels qu'on
ne puisse pas prolonger y en une solution du problème de Cauchy (C) sur un intervalle contenant strictement 1. D'où la définition suivante.
Soient U un ouvert de IR. x E, f : U ~ E une application continue, (to,yo) E U.
On appelle solution maximale du problème de Cauchy
{ y'= f(t,y)
(C)
y(to) = Yo
toute solution (l,y) de (C) telle que, pour toute solution (/1,J1) de (C) telle que
{
l c 11
' V t E / , Y1 (t) = y(t),
on ait 1 1 = l.
Remarque : Un couple (/,y) est solution maximale du problème de Cauchy (C) si et seulement si: (l ,y) est solution de (C) et il n'existe pas de solution (/1,J1) de (C) telle que:
1
1 c /1
'V~E / , Y1(t) = y(t).
3) Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème de Cauchy-Lipschitz
Soient U un ouvert de IR. x E, f: U ~ E une application de classe C 1 sur U,
(t 0 ,y 0 ) E U. Il existe une solution maximale et une seule du problème de Cauchy
(C) {y'= f(t,y) .
y(to) = Yo
De plus:
• l'intervalle de définition de cette solution maximale est ouvert
• toute solution de (C) est restriction de cette solution maximale.
4) Propriétés des solutions maximales du problème de Cauchy
a) Comportement d'une solution maximale en une extrémité de son intervalle ouvert
de définition
Soient U un ouvert de IR. x E,f: U ~ Ede classe C 1 sur U, (t 0 ,y 0 ) E U,(l ,y) la
solution maximale du problème de Cauchy (C) {y' = f(t,y) , (a,{3) E (i)2 tel
y(to) = Yo
que I =]a; {3[. On suppose: {a} x E c U (resp. {{J} x E c U).
Si a E IR. (resp. f3 E IR.), alors y n'admet pas de limite (finie si E =IR.) en a+
(resp. {J- ).
Preuve
Supposons y(t) -----+ f E E.
t----'>a+
{
y(t) si t E]a ; ,B[
L'application y: [a ; ,B[----+ E définie par y(t) =
.
est continue sur [a ; ,B[.
f
SI t =a
Comme de plus y' (t) = f(t,y(t))-----+ f(a ,f), on déduit du théorème« limite de la dérivée» que
t ----'>a+
ji est de classe C 1 sur [a; f3[, et que V t E [a; /3( , ji'(t) = f(t ,y(t)).
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