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436
Chapitre 8 • Équations différentielles
Autrement dit, si y : I --'> E est
solution de (E) sur let si J c /,alors
y 11 : J --'> E est solution de (E)
sur J.
(/1 n /2)
0 est l'intérieur de /1 n /2.
Lacondition(/1 n h)
0 # 0 revient
à:/ 1 n / 2 est un intervalle non vide ni
réduit à un point.
J et I sont des intervalles non vides et
non réduits à un point.
Autrement dit, si YI : /1 --'> E et
Y2 : /2 --'> E sont solutions de (E)
respectivement sur / 1 et h coïncidant
sur / 1 n1i, et si / 1 nh est un
inetrvalle non vide ni réduit à un point,
alors /1 U h est un intervalle et
y: /1 U h--'> E est solution
de (E) sur /1 U /2.
Plus précisément, dans l'ensemble
ordonné (E,::;,), la paire formée par
U 1 , YI ) et (/2, Y2) admet une borne
inférieure et une borne supérieure, qui
sontrespectivement(J,yl1) et(/,y).
Ainsi, un problème de Cauchy revient à
une équation différentielle (du premier
ordre, normalisée) avec une condition en
un point, souvent appelée« condition
initiale ».
y
ri
. J
y
J
•Soient (/1. Y1), (/2. Y2) deux éléments de E tels que:
{
U1 n /2)
0 :f. 0
Vt E /1 n /i , Y1(t) = Y2(t).
Notons J = /1 n /2 et I = fi U /2 (qui sont des intervalles), et y : I ---+ E définie par:
{
VtE/1 ,
V t E /2 ,
y(t) =YI (t)
y(t) = Y2 (t).
Il est clair que :
y
{
(J,yl1)::;. U1 .Y1) ::;. (/ ,y)
(J,yl1)::;, (/2 ,Y2)::;, (/ ,y).
Si on ne suppose pas (/ 1 n /2)
0 :f. 0, alors / 1 U /2 peut ne pas être un intervalle, ou bien, si
l'extrémité droite de / 1 est l'extrémité gauche de /2, y peut ne pas être dérivable en ce point.
2) Problème de Cauchy
Soient U un ouvert de IR x E, f : U ----+ E une application continue,
(to,yo) EU.
On appelle solution du problème de Cauchy
(C) {y' = f(t,y)
y(to) = Yo
(E)
tout couple (l,y) où l est un intervalle contenant t 0 et y : l ----+ E une solution
~e (E) sur l telle que y(to) = Jo.
Remarques:
1) Avec les notations ci-dessus, on dit aussi que y (au lieu de(! ,y)) est solution du problème
de Cauchy (C).
2) Avec les notations de 8.2.1 p. 435, l'ensemble des solutions du problème de Cauchy (C) est
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Chapitre 8 • Équations différentielles
Autrement dit, si y : I --'> E est
solution de (E) sur let si J c /,alors
y 11 : J --'> E est solution de (E)
sur J.
(/1 n /2)
0 est l'intérieur de /1 n /2.
Lacondition(/1 n h)
0 # 0 revient
à:/ 1 n / 2 est un intervalle non vide ni
réduit à un point.
J et I sont des intervalles non vides et
non réduits à un point.
Autrement dit, si YI : /1 --'> E et
Y2 : /2 --'> E sont solutions de (E)
respectivement sur / 1 et h coïncidant
sur / 1 n1i, et si / 1 nh est un
inetrvalle non vide ni réduit à un point,
alors /1 U h est un intervalle et
y: /1 U h--'> E est solution
de (E) sur /1 U /2.
Plus précisément, dans l'ensemble
ordonné (E,::;,), la paire formée par
U 1 , YI ) et (/2, Y2) admet une borne
inférieure et une borne supérieure, qui
sontrespectivement(J,yl1) et(/,y).
Ainsi, un problème de Cauchy revient à
une équation différentielle (du premier
ordre, normalisée) avec une condition en
un point, souvent appelée« condition
initiale ».
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•Soient (/1. Y1), (/2. Y2) deux éléments de E tels que:
{
U1 n /2)
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Vt E /1 n /i , Y1(t) = Y2(t).
Notons J = /1 n /2 et I = fi U /2 (qui sont des intervalles), et y : I ---+ E définie par:
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V t E /2 ,
y(t) =YI (t)
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Il est clair que :
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Si on ne suppose pas (/ 1 n /2)
0 :f. 0, alors / 1 U /2 peut ne pas être un intervalle, ou bien, si
l'extrémité droite de / 1 est l'extrémité gauche de /2, y peut ne pas être dérivable en ce point.
2) Problème de Cauchy
Soient U un ouvert de IR x E, f : U ----+ E une application continue,
(to,yo) EU.
On appelle solution du problème de Cauchy
(C) {y' = f(t,y)
y(to) = Yo
(E)
tout couple (l,y) où l est un intervalle contenant t 0 et y : l ----+ E une solution
~e (E) sur l telle que y(to) = Jo.
Remarques:
1) Avec les notations ci-dessus, on dit aussi que y (au lieu de(! ,y)) est solution du problème
de Cauchy (C).
2) Avec les notations de 8.2.1 p. 435, l'ensemble des solutions du problème de Cauchy (C) est
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