C'est un cas particulier du remplacement
théorique vu dans le § 8.1.2.
En particulier, on a la Définition suivante :
Soient U un ouvert de IR
2
f: U-----+ IR de classe C
1
1 un intervalle de IR
x : 1 -----+ IR une application.
8.2 · Le théorème de Cauchy-Lipschitz
On dit que x est solution sur l de l'équation différentielle autonome d'ordre 2 :
(E) x" = f (x ,x' )
{
X est de classe C
2 Sur f
si et seulement si:
Vt E / , (x(t),x'(t) ) EU
Vt E /, x"(t) = f(x(t),x'(t)).
En notant y = x ', il est clair que x est solution de: (E) x" = f (x ,x')
si et seulement si (x, y) est solution de : (S) {
x' =Y
y' = f(x ,y).
Ceci permet de ramener la résolution d'une équation différentielle autonome d'ordre 2 à un système différentiel autonome d 'ordre 1.
8.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D
8.2.1
Nous étudions donc une équation
différentielle du premier ordre
normalisée.
La résolution de l'ED (E) consiste (d.
8.1.1 Déf.p.432) en la détermination de
l'ensemble E. A cet effet, nous allons
étudier E 10 ,y 0 pour chaque (to,yo)
de U.
'>- o.
0
u
Rappel: y2 l 1 1 désigne la restriction de y2
......-- à/1.
,.,
On peut exprimer
\J.....
(/1,y1)~(/z.y2)
par:
YI est une restriction de yz,ou:
Y2 prolonge YJ.
Théorie
Soient U un ouvert de IR x E, f : U -----+ E une application continue. Considérons
l'équation du 1er ordre normalisée (E) y' = f (t, y) où l'inconnue est notée y .
Rappelons (cf. 8.1.1 p. 432) que, si lest un intervalle de IR, on appelle solution de (E)
sur 1 toute application y : l -----+ E dérivable sur l telle que :
{
Vt E / , (t ,y(t)) EU
V t E / , y
1 (t) = f(t,y(t)).
Remarques:
1) Si y est solution de (E) sur/, alors, par composition, y' est continue sur let donc y est de
classe C 1 sur /.
2) Si f est de classe ck (k E N u { +oo}) sur U et si y est solution de (E) sur /,alors y est de
classe ck+ 1 sur /,comme on le voit par un raisonnement par récurrence sur k.
Considérons l'ensemble E des couples (! ,y ) où lest un intervalle de lR et y une solution de (E)
sur !. Pour (to,Yo) E U, considérons aussi l'ensemble E 10 ,y 0 des couples (!,y) éléments de E et
tels que to E l et y(to) = YO .
1) Étude élémentaire de E
• La relation ~ définie dans Epar :
est une relation d'ordre (non total, a priori).
•Il est clair que, si (!,y) E E, alors, pour tout intervalle J tel que J c ! , on a (J,y l1) E E
et (J ,yl 1 H(l,y).
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théorique vu dans le § 8.1.2.
En particulier, on a la Définition suivante :
Soient U un ouvert de IR
2
f: U-----+ IR de classe C
1
1 un intervalle de IR
x : 1 -----+ IR une application.
8.2 · Le théorème de Cauchy-Lipschitz
On dit que x est solution sur l de l'équation différentielle autonome d'ordre 2 :
(E) x" = f (x ,x' )
{
X est de classe C
2 Sur f
si et seulement si:
Vt E / , (x(t),x'(t) ) EU
Vt E /, x"(t) = f(x(t),x'(t)).
En notant y = x ', il est clair que x est solution de: (E) x" = f (x ,x')
si et seulement si (x, y) est solution de : (S) {
x' =Y
y' = f(x ,y).
Ceci permet de ramener la résolution d'une équation différentielle autonome d'ordre 2 à un système différentiel autonome d 'ordre 1.
8.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D
8.2.1
Nous étudions donc une équation
différentielle du premier ordre
normalisée.
La résolution de l'ED (E) consiste (d.
8.1.1 Déf.p.432) en la détermination de
l'ensemble E. A cet effet, nous allons
étudier E 10 ,y 0 pour chaque (to,yo)
de U.
'>- o.
0
u
Rappel: y2 l 1 1 désigne la restriction de y2
......-- à/1.
,.,
On peut exprimer
\J.....
(/1,y1)~(/z.y2)
par:
YI est une restriction de yz,ou:
Y2 prolonge YJ.
Théorie
Soient U un ouvert de IR x E, f : U -----+ E une application continue. Considérons
l'équation du 1er ordre normalisée (E) y' = f (t, y) où l'inconnue est notée y .
Rappelons (cf. 8.1.1 p. 432) que, si lest un intervalle de IR, on appelle solution de (E)
sur 1 toute application y : l -----+ E dérivable sur l telle que :
{
Vt E / , (t ,y(t)) EU
V t E / , y
1 (t) = f(t,y(t)).
Remarques:
1) Si y est solution de (E) sur/, alors, par composition, y' est continue sur let donc y est de
classe C 1 sur /.
2) Si f est de classe ck (k E N u { +oo}) sur U et si y est solution de (E) sur /,alors y est de
classe ck+ 1 sur /,comme on le voit par un raisonnement par récurrence sur k.
Considérons l'ensemble E des couples (! ,y ) où lest un intervalle de lR et y une solution de (E)
sur !. Pour (to,Yo) E U, considérons aussi l'ensemble E 10 ,y 0 des couples (!,y) éléments de E et
tels que to E l et y(to) = YO .
1) Étude élémentaire de E
• La relation ~ définie dans Epar :
est une relation d'ordre (non total, a priori).
•Il est clair que, si (!,y) E E, alors, pour tout intervalle J tel que J c ! , on a (J,y l1) E E
et (J ,yl 1 H(l,y).
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