Chapitre 8 • Équations différentielles
C'est un cas particulier de la définition
du §8.1.1.
r
\J_... Rappel: x(/) = {x(t); t E /}.
r
Rappel:
\J_... 'r1 0 / = (t E JR; t - to E 1).
-0
0
c
::J
0
C'est un cas particulier de la Définition
du §8.1.1.
; '{ \ On peut définir plus généralement la
N...:,...> notion de solution sur l d'une équation
r.:..
différentielle autonome d'ordre n :
~
x ..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
434
Soient E un IR-evn de dimension finie
U un ouvert de E
f: U ----+ Ede classe C
1 sur U.
Pour tout intervalle I de IR, on appelle solution sur I de l'équation différentielle
autonome
(E)
x' = f(x)
toute application x : I ----+ E telle que :
Avec les notations ci-dessus :
{
x est de classe C
1 sur I
Vt E / , x(t) EU
Vt E / , x'(t) = f(x(t)).
1
U s' appelle l'espace des phases
On appelle orbite d ' une solution x : l ---+ Ede (E) sur/ , la partie x (/ ) de U.
Six : I ----+ E est une solution sur I de l'équation différentielle autonome
(E) x' = f(x) ,
alors, pour tout to de IR, la translatée 'T 10 x : 'Tto I ----+ E est solution de (E) sur 'T 10 /.
f i----+ X (t -to)
Preuve
Il est clair que 'T 10 x est de classe C 1 sur 'T 10 / , et que :
l
'v't E 'T, 0 1, ('T, 0 x )'(t) = x'(t - to) = f(x(t - to)) = f(('T, 0 x) (t)).
•
Un cas particulier fréquent est celui où E = IR 2 , d'où la Définition suivante.
Soient 1 U un ouvert de IR
2
f, g : U ----+ IR de classe C
1 sur U.
Pour tout intervalle I de IR, on appelle solution sur I du système différentiel autonome
(S) {
x ' = f(x,y)
y'= g (x ,y)
tout couple d'applications (x : I ----+ IR, y : I ----+ IR) tel que :
1
x et y sont de classe C
1 sur I
'Vt E IR, (x(t) ,y(t)) EU
V
/
{x' (t)=f(x(t),y(t))
t E '
y'(t) = g(x(t),y(t)).
On appelle point d'équilibre (ou : point critique) du système différentiel autonome
·
{ f (xo ,Yo) = 0
(S) tout pomt (xo,yo) de U tel que
(
) 0
.
g xo,Yo =