8.1.2
L'introduction de Y revient à considérer
simultanément y,y' ,y", .. . ,y
D
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Les n - 1 premières équations du
système, étant trivialement vérifiées,
disparaissent de l'écriture.
On remarquera que, dans ce procédé, la
diminution de l'o rdre de l'ED est
compensée par une augmentation de
la dimension de l'espace d'arrivée des
solutions.
Ceci revient à noter z = y' et à réécrire
l'EDy" - ty' +y = 1 3 defaçonque
la dérivée seconde y" n'apparaisse plus :
{
z = y'
z' -t z+y -t 3 =0
8.1.3
En Physique, si un phénomène est
reproductible à un instant quelconque et
est régi par une équation différentielle
dont la variable est le temps, alors cette
équation différentielle est autonome.
8.1 • Généralités
Remplacement théorique d'une équation
différentielle d'ordre n par une équation
différentielle d'ordre 1
On reprend les notations utilisées dans 8.1.1 p. 432.
Notons ici Dn (l , E) l'ensemble des applications de l dans E n fois dérivables, et
D
1 (/,En) l'ensemble des applications del dans En dérivables.
Considérons l'application e de Dn(/,E) dans D
1 (1 , En) qui, à tout élément y de
D n (/, E) , associe l'application Y : l ------+ En définie par :
V t E !, Y(t) = (y(t), .. . ,y
Vt E / , Y'(t) = (y ' (t), ... ,y
D'autre part, considérons G : Jœ. x En x En ------+ En - I x F définie par :
v(t ,(y1, .. .,yn),(Z1, .. .,Zn)) E lœ. x En x En,
G (r, (y1,. .. ,yn), (Z1,. .. ,Zn) )=(Y:rZ1, y3 - Z2,. .. ,yn - Zn-1,g(t ,y1, . . ,yn,Zn )).
On a, pour tout t de l :
G(t , Y(t) , Y ' (t)) = 0 {:::::::::} G(t , ( y (t) ,y'(t) ,. .. , y
, . . . . _ _ _ _ . _ 1 y' (t) = y' (t)
~
{:::::::::} g(t,y(t),. .. ,y<
11 l(t)) =O.
y
g(t,y(t),. .. ,y
d'une ED d'ordre 1, d'inconnue à valeurs dans E'
1
•
Exemple:
L'ED scalaire d'ordre 2, y" - t y' +y = t 3 (d'inconnue y : I --+ IR, I intervalle de IR) se
ramène, par Je changement de fonction inconnue Y= (y ,y') à l'ED vectorielle d'ordre 1 :
G(t,Y(t) ,Y'(t)) = 0, où: G : IR X IR 2 X IR 2 --+ IR2
(x ,(y1 ,y2), (z 1 .z2))~(yi-z 1 .z2-t y2+Y1 -1 3 )
Autrement dit, l'ED scalaire d'ordre 2, y" - ty' +y = t 3 se ramène à l'ED vectorielle
d'ordre 1
{
z - y'= O
3
d'inconnue (y,z ) .
z' - tz +y - t = O
,
Equations différentielles autonomes
Nous nous intéressons ici au cas, fréquent, d'équations différentielles (E)
x' = f (x) dans
lesquelles la variable (notée t , et qui désigne alors souvent le temps) n'apparaît pas ; une telle
équation différentielle est dite autonome d'ordre l.
433
L'introduction de Y revient à considérer
simultanément y,y' ,y", .. . ,y
D
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Les n - 1 premières équations du
système, étant trivialement vérifiées,
disparaissent de l'écriture.
On remarquera que, dans ce procédé, la
diminution de l'o rdre de l'ED est
compensée par une augmentation de
la dimension de l'espace d'arrivée des
solutions.
Ceci revient à noter z = y' et à réécrire
l'EDy" - ty' +y = 1 3 defaçonque
la dérivée seconde y" n'apparaisse plus :
{
z = y'
z' -t z+y -t 3 =0
8.1.3
En Physique, si un phénomène est
reproductible à un instant quelconque et
est régi par une équation différentielle
dont la variable est le temps, alors cette
équation différentielle est autonome.
8.1 • Généralités
Remplacement théorique d'une équation
différentielle d'ordre n par une équation
différentielle d'ordre 1
On reprend les notations utilisées dans 8.1.1 p. 432.
Notons ici Dn (l , E) l'ensemble des applications de l dans E n fois dérivables, et
D
1 (/,En) l'ensemble des applications del dans En dérivables.
Considérons l'application e de Dn(/,E) dans D
1 (1 , En) qui, à tout élément y de
D n (/, E) , associe l'application Y : l ------+ En définie par :
V t E !, Y(t) = (y(t), .. . ,y
Vt E / , Y'(t) = (y ' (t), ... ,y
D'autre part, considérons G : Jœ. x En x En ------+ En - I x F définie par :
v(t ,(y1, .. .,yn),(Z1, .. .,Zn)) E lœ. x En x En,
G (r, (y1,. .. ,yn), (Z1,. .. ,Zn) )=(Y:rZ1, y3 - Z2,. .. ,yn - Zn-1,g(t ,y1, . . ,yn,Zn )).
On a, pour tout t de l :
G(t , Y(t) , Y ' (t)) = 0 {:::::::::} G(t , ( y (t) ,y'(t) ,. .. , y
, . . . . _ _ _ _ . _ 1 y' (t) = y' (t)
~
{:::::::::} g(t,y(t),. .. ,y<
11 l(t)) =O.
y
d'une ED d'ordre 1, d'inconnue à valeurs dans E'
1
•
Exemple:
L'ED scalaire d'ordre 2, y" - t y' +y = t 3 (d'inconnue y : I --+ IR, I intervalle de IR) se
ramène, par Je changement de fonction inconnue Y= (y ,y') à l'ED vectorielle d'ordre 1 :
G(t,Y(t) ,Y'(t)) = 0, où: G : IR X IR 2 X IR 2 --+ IR2
(x ,(y1 ,y2), (z 1 .z2))~(yi-z 1 .z2-t y2+Y1 -1 3 )
Autrement dit, l'ED scalaire d'ordre 2, y" - ty' +y = t 3 se ramène à l'ED vectorielle
d'ordre 1
{
z - y'= O
3
d'inconnue (y,z ) .
z' - tz +y - t = O
,
Equations différentielles autonomes
Nous nous intéressons ici au cas, fréquent, d'équations différentielles (E)
x' = f (x) dans
lesquelles la variable (notée t , et qui désigne alors souvent le temps) n'apparaît pas ; une telle
équation différentielle est dite autonome d'ordre l.
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