Chapitre 8 • Équations différentielles
On note lK =IR ou C.
Les intervalles de IR envisagés dans ce ch. 8 sont toujours supposés ni vides ni réduits à un point.
E désigne un IK-evn de dimension finie, dont la norme est notée 11.11 ; en pratique, souvent
E = IK.
8.1 Généralités
8.1.l
r
On peut aussi appeler courbes intégrales
\JJ les images des arcs paramétrés
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
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y : 1 ~ E.
I>-> y(t)
La plupart des résultats de ce chapitre
(théorème de Cauchy-Lipschitz, ... ) ne
seront valables que pour des équations
différentielles normalisées.
Définitions
Soient n E N*
E, F deux JK-evn de dimensions finies
U une partie de IR. x En+ 1
g : U ----+ F une application.
Pour tout intervalle I de IR., on appelle solution sur Ide l'équation différentielle
(
)
(
1
(n)) _ O
e
g t,y,y , ... ,y
-
toute application y : l ----+ E telle que :
{
y est n fois dérivable sur l
Vt E / , (t,y(t),y'(t), ... ,y(n)(t)) EU
V t E / , g(t,y(t),y'(t), ... ,y(n)(t)) =O.
L'entier n est appelé l'ordre de l'équation différentielle (e).
Résoudre (e), c'est déterminer tous les couples (l ,y) où I est un intervalle de IR. et
y une solution de (e) sur/.
Lorsque E = JK, on dit que (e) est une équation différentielle scalaire ; sinon, on dit
que (e) est une équation différentielle vectorielle.
On appelle courbes intégrales de ( e) les images des arcs paramétrés
I ----+ En
où y : 1 ----+ E est solution de (e) sur 1.
fi-----+ (y(t) ,y' (t ), . .. ,y Nous utiliserons les abréviations ED pour équation différentielle, et CI pour courbe intégrale.
Remarques:
1) Il paraît souvent commode de noter par la même lettre, y, une application de I dans E et
l'image d'un élément (générique) t de l par cette application, autrement dit de confondre y
et y(t) .
2) Sauf exceptions, d'étude triviale, une équation différentielle a bien un seul ordre.
3) Pour une équation différentielle du 1ème ordre (e)
g(t,y,y') = 0,
les courbes intégrales sont par définition les images des arcs paramétrés y : l ----+ E où y
t~y(t)
est solution de (e) sur/.
Il est souvent utile d'exprimer, dans (e), y c'est possible. A cet effet, on pourra être amené à utiliser le théorème des fonctions implicites
(cf. § 9.4 p. 543).
On peut ainsi, dans certains cas, ramener l'étude de (e) à celle d'une équation différentielle normalisée (ou : résolue en y (E)
y(n) = f(t,y, ... ,y<11 - I))
où V est une partie de IR x E
11 et f : V ----+ E.