-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
· o
0
u
438
Chapitre 8 • Équations différentielles
Ces graphes constituent une partition
de U c'est-à-dire:
·chaque graphe n'est pas vide
• tout élément de U appartient à au
moins un de ces graphes
• ces graphes sont deux à deux disjoints.
Il est évident que le graphe d'une
solution maximale est non vide.
Autrement dit, si y : I ~ E est la
solution maximale du problème de
Cauchy en to,alors y est aussi la solution
maximale du problème de Cauchy en
tout point de /.
Ainsi, ([a; ,8[,y) est une solution du problème de Cauchy (C) et ]a; ,B[c[a; .8[, ce qui contredit la
=I
maximalitéde (]a ; ,8[,y).
Remarque : En pratique, la Proposition est utilisée, dans le cas E = IR, sous la forme :
si y :]a; .8[--+ IR est solution maximale de (C), si a E IR et si y est croissante (resp. décroissante) localement à droite de a, alors y admet en a + la limite - oo (resp. +oo), cf. Analyse
MPSI, 4.2.4, Théorème.
b) Propriété des courbes intégrales
Soient U un ouvert de lR x E, f: U ---+ E de classe C
1 sur U. Les graphes des
{
y'= f(t,y)
solutions maximales du problème de Cauchy (C)
, lorsque (to , y 0 )
y(to) = Yo
décrit U, constituent une partition de U.
Preuve
1)
t
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz (3)
p. 437), pour tout Cto.Yo) de U, il existe une
solution maximale (! ,y) de (C); le graphe de
(! ,y) contient à l'évidence Cto.Yo).
2) Soient r I, r2 deux graphes de deux solutions maximales U I , YI), U 2, Y2) des problèmes de Cauchy
{
y'= f(t,y)
{ y'= f(t,y)
.
( )
'
( )
' respectivement, tels que r I n r 2 # 0 ;
Y t1 = Y I
Y t2 = Y2
il existe donc (t3,y3) E f1 n f2.
{
y'= f(t ,y)
Alors U1 .Y1) et U2 ,y2) sont solutions du problème de Cauchy
(
, donc (cf. 3) c) p. 437)
Y t3) = Y3
YI lt 1 n t 2 = Y2l1 1 n t 2 •
Comme en 1 ), le recollement de Y I et Y2 fournit une solution (l , y) du problème de Cauchy
{ y'(=) f (t,y), d'où (par maximalité de (II ,Y I)) I C 11 , donc /2 C II.
Y t1 =YI
De même, II c fi, donc 11 =li, puis Y I = Y2·
•
c) Maximalité vis-à-vis de deux points
Soient U un ouvert de lR x E,f: U ---+ Ede classe C 1 sur U, (to,Yo) E U, y , la
solution maximale du problème de Cauchy
{ y'(=) f (t ,y), / 1 l'intervalle de défiy to = Yo
nition de y 1 • Alors, pour tout t 1 de 1 1 , y 1 est aussi la solution maximale du problème,
de Cauchy
{
y'= f(t,y)
y(ti) = Yt (t1) .
0
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......
0
N
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..._,
.s::
· o
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Chapitre 8 • Équations différentielles
Ces graphes constituent une partition
de U c'est-à-dire:
·chaque graphe n'est pas vide
• tout élément de U appartient à au
moins un de ces graphes
• ces graphes sont deux à deux disjoints.
Il est évident que le graphe d'une
solution maximale est non vide.
Autrement dit, si y : I ~ E est la
solution maximale du problème de
Cauchy en to,alors y est aussi la solution
maximale du problème de Cauchy en
tout point de /.
Ainsi, ([a; ,8[,y) est une solution du problème de Cauchy (C) et ]a; ,B[c[a; .8[, ce qui contredit la
=I
maximalitéde (]a ; ,8[,y).
Remarque : En pratique, la Proposition est utilisée, dans le cas E = IR, sous la forme :
si y :]a; .8[--+ IR est solution maximale de (C), si a E IR et si y est croissante (resp. décroissante) localement à droite de a, alors y admet en a + la limite - oo (resp. +oo), cf. Analyse
MPSI, 4.2.4, Théorème.
b) Propriété des courbes intégrales
Soient U un ouvert de lR x E, f: U ---+ E de classe C
1 sur U. Les graphes des
{
y'= f(t,y)
solutions maximales du problème de Cauchy (C)
, lorsque (to , y 0 )
y(to) = Yo
décrit U, constituent une partition de U.
Preuve
1)
t
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz (3)
p. 437), pour tout Cto.Yo) de U, il existe une
solution maximale (! ,y) de (C); le graphe de
(! ,y) contient à l'évidence Cto.Yo).
2) Soient r I, r2 deux graphes de deux solutions maximales U I , YI), U 2, Y2) des problèmes de Cauchy
{
y'= f(t,y)
{ y'= f(t,y)
.
( )
'
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' respectivement, tels que r I n r 2 # 0 ;
Y t1 = Y I
Y t2 = Y2
il existe donc (t3,y3) E f1 n f2.
{
y'= f(t ,y)
Alors U1 .Y1) et U2 ,y2) sont solutions du problème de Cauchy
(
, donc (cf. 3) c) p. 437)
Y t3) = Y3
YI lt 1 n t 2 = Y2l1 1 n t 2 •
Comme en 1 ), le recollement de Y I et Y2 fournit une solution (l , y) du problème de Cauchy
{ y'(=) f (t,y), d'où (par maximalité de (II ,Y I)) I C 11 , donc /2 C II.
Y t1 =YI
De même, II c fi, donc 11 =li, puis Y I = Y2·
•
c) Maximalité vis-à-vis de deux points
Soient U un ouvert de lR x E,f: U ---+ Ede classe C 1 sur U, (to,Yo) E U, y , la
solution maximale du problème de Cauchy
{ y'(=) f (t ,y), / 1 l'intervalle de défiy to = Yo
nition de y 1 • Alors, pour tout t 1 de 1 1 , y 1 est aussi la solution maximale du problème,
de Cauchy
{
y'= f(t,y)
y(ti) = Yt (t1) .