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420
Chapitre 7 • Séries de Fourier
La convergence uniforme entraîne la
convergence quadratique, sur un
segment.
Unicité de la limite de (Sµ(f)) >-o
Pr
pour Il · Ili.
Exercice 7 .3.1.
7.3.2
Théorème fondamental pour les
exercices et les problèmes.
Exercice 7.3.3.
+oo
Notons g = L Un (j) ; nous allons montrer g = f.
n=O
Puisque chaque Un (f) est continue sur IR et que L Un (f) converge uniformément sur IR, g est
n;;,O
continue sur IR ; d'autre part, il est immédiat que g est Y-périodique. Ainsi : g E CT.
Comme ( Sp (f) \,;;,o converge uniformément vers g sur IR, ( Sp (j)) ,,;;.o converge en moyenne
quadratique vers g.
Mais d'autre part (théorème de Parseval), (Sµ(f)) p;;,o converge en moyenne quadratique vers f
sur IR, donc g = f.
Résumons l'étude.
Théorème de convergence normale
Si f: IR ----+ C est Y-périodique, continue, et de classe c 1 par morceaux sur IR, alors
la série de Fourier de f converge normalement sur IR et a pour somme f.
Le théorème de Dirichlet
Nous admettons le théorème suivant.
l Théorème de Dirichlet
\
Soit/ E CMT. Si/ est de classe C
1 par morceaux sur~. alors la série de Fourier de
f converge simplement sur ~ et a pour somme la régularisée f de f.
Ainsi, sous ces hypothèses, pour tout t de ~ :
Co+~ (cne inwt + C-ne-inwt) = f(t) = ~(J(t+) + f(t - ))
11=1
ou encore:
Exemple d'utilisation des théorèmes de Parseval et de Dirichlet
Trouver toutes les applications f : IR ----+ IR, 2Jr-périodiques, de classe C
2 , telles que:
[2"
Jo f = 0
et
l!"I ~ lfl.