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7 .3 • Convergence ponctuelle
Solution
Conseils
Puisque f, f ', f " sont 2Jr-périodiques et continues par morceaux sur IR, on a,
d'après la formule de Parseval :
On déduit:
L lcn 1
2 désigne ici
nEZ
+oo
lcol
2 + L ( lc,. 1
2 + le-11 1
2
) .
n= I
12" 1112 +12" 1!"12 - 212" 1!'12
Pour établir l'inégalité demandée, on peut
tout faire passer dans un même membre
et étudier le signe de la différence.
= 2n (I: lc,.1 2 + .l::n
4 lcnl 2 - 2 .l::n
2 lc,,1
2
)
nEZ
nez
nEZ
= 2n L(n
2 -1)
2 lc 11 1
2 ,
nez
d'où l'inégalité voulue.
7.3 Convergence ponctuelle
7.3.1
f est T-périodique et, d'une part,
continue, d'autre part, de classe C
1 par
morceaux.
Car lle11 lloo = lle-11 lloo = 1.
Convergence normale
Soit f E Cr, de classe C 1 par morceaux sur IR .
{
f 'E CMr
On a vu (cf. 7.1.2 4) p. 408) :
,
Vn E Z, c 11 (f) = inwc 11 (f) .
D'où: Vn E IR*,
1
lcn (f) I = - lcn (f') I.
nw
Notons uo(f ) = co (f )eo et, pour tout n de N*, u,, (f) = Cn(f )en + C-nU)e-n (cf. 7.1.3 Déf.
p. 409).
On a, pour tout n de N :
D'autre part, remarquons :
2
l
2
2
V(a ,{3 ) E (IR+ ) , af3 ~ 2
(a + f3 ) ,
d'où: Vn E Z, lc,, (f)I = l 11 ~c,,(f') I ~ L (n' 2 + l c11 Cf')l
2
) ,
puis :
*
1 ( 2
' 2
' 2)
Vn EN , ll un (f)lloo ~ 2
w n 2 + lcn (f )1 + lc- n(f )1 .
Comme L
11
1
2 converge et que L (1c 11 (f
1 )1
2 + lc- 11 (f
1
)1
2 ) converge (inégalité de Bessel),
n ~ l
n ~ l
on en déduit que la série de Fourier de f, Lu, , (f ), est normalement convergente sur IR, donc
n ~ l
uniformément et simplement convergente sur IR .
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