Chapitre 7 • Séries de Fourier
Le résultat du Corollaire 1 1):
Il
I:: 1c,, u)1
2
~ 1 1 J 1 1~
11 00
p =-n
est ici généralisé au cas de deux
fonctions f ,g .
Expression du produit scalaire complexe
à l'aide de (quatre) normes.
Proposition 2
p
L Cn(f)cn(g) ~ (fig).
p oo
n=- p
Preuve
On montre (cf. exercice 1.6.1) que, pour tout produit scalaire < ·, · > sur un C -ev E , et tous x , y de E ,
on a, en notant 11 · 11 la norme associée à < ·, · > , l' identité de polarisation :
En appliquant ceci au produit scalaire ( · I ·) sur V r , on obtient :
t c,, (f)cn(g) = (Sp(f) 1 Sp(g )) = ~ t i-k ll Sp(f) + ik Sp(g) ll~
= - p
~o
Remarque :
L'application V r --+ l
2 (Z ,C) est une application linéaire con servant le produit scalaire.
f ,__ Î
CS;x:e.-cice.-type .-ésolu
Exemple d'utilisation du théorème de Parseval
~
Soit f : IR --+ C , 2n-périodique, de classe C
2 sur R
c
~
Montrer :
~
l 2rr IJ l2 + l 2rr IJ"l2 ~ 2 fo2rr IJ'l2.
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
418
Solution
Puisque f , f ', f " sont 2n-périodiques et continues par morceaux sur IR, f , f' , f "
admettent des coefficie nts de Fourier, et, puisque f est de classe C
2 , on a:
[
c,, (f ') = i nc 11 (f)
\ln E Z,
c,, (f") = i nc,,(f') = -n
2 c 11 (f).
Notons, pour tout n E Z, c,, = c,, (f).
Conseils
Penser à faire intervenir des coefficients de
Fourier.
Comme les fonctions envisagées ici sont
ln-périodiques, on a, avec les notations du
Cours:
T = 2n, w = 1.