Solution
1) Soit f convenant.
Puisque f et f " sont 2rr-périodiques et continues par morceaux, car continues, f et
f " admettent des coefficients de Fourier trigonométriques, et on a :
Vn E N, a,,(f" ) = -n
2 a,, (f)
et
b,, (f") = -n
2 b,,(f).
Par hypothèse :
212"
ao(f) = -
f =O.
2rr 0
Et:
2 12r r 1
ao(f") = -
f" = - (f' (2rr) - .f'(O)) =O.
2rr 0
n
Puisque f et f " sont 2rr-périodiques et continues par morceaux sur IR, on peut leur
7 .3 • Convergence ponctuelle
Conseils
Penser à faire intervenir des coefficients de
Fourier.
a,,(f" ) = nb,. (f') = -n
2 a,,(f) ,
b,,(f") = - na,.(f') = -n
2 b,,(f).
appliquer la formule de Parseval, d'où, en notant a,, = a,, Cf) et b,, = b,, (f) , pour Allègement des notations.
tout n E N :
1 [2"
a (f")2
1 +oo
1 +oo
2rr Jo f ' f2 = _o _ 4_ + 2 ~ (a,,(f")2 + b,, (f")2) = 2 ~ n4(a~ + b~).
Par hypothèse, lf"I ~ l.fl, donc f'f2 ~ f2, puis -
1
- [2" f"
2
~ _l _ [2" J
2 ,
2rr } 0
2n } 0
1 +oo
l +oo
+oo
donc l l::n4ca~ + b~) ~ l L(a~ + b?,), c'est-à-dire L(n
4
- l)(a~ + b?,) ~ O.
n= I
n= I
n= I
Il en résulte : V n E N* , (n
4
- 1) (a~ + b?,) = 0,
et donc : V n ~ 2, a,, = b,, = O.
D'autre part, comme f est 2rr-périodique et de classe C
1 par morceaux, car de classe C
2
sur IR , d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement
sur IR et a pour somme la régularisée de f, c'est-à-dire f puisque f est continue sur IR.
On a donc:
ao
+oo
.
.
V t E IR, f (t) = 2
+ L(a,, cos nt+ b,, sm nt) = a 1 cos t + b 1 sm t.
n= I
2) Réciproquement, soient (a,b) E IR 2 et f: IR -----+ IR, t t----+ a cos t + b sint.
Il est clair que f est 2rr-périodique, de classe C
2 sur IR , que fo
2
" f = 0 , et que
!" = -f, donc 1 f"1 ~ 1 f 1. ce qui montre que f convient.
On conclut: les applications f convenant sont les f : IR -----+ IR, t t----+ a cos t+b sin t ,
(a,b) E IR
2 .
Chaque terme de la somme est ~ O.
Les a,, et les b,. sont réels.
On peut aussi appliquer le théorème de
convergence normale.
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