Chapitre 7 • Séries de Fourier
7.2 Structure préhilbertienne
7.2.1
La nécessité de l'introduction de DT
apparaîtra d'abord dans la Proposition
suivante p.444,afin d'obtenir un produit
scalaire, mais surtout dans le théorème
de Dirichlet de convergence simple,
§ 7.3.2Théorème p. 420.
'J CT cDT cCMT.
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
412
Onobtientf à partir de/en modifiant
f en ses points de discontinuité.
llen résultequefetf ont les mêmes
coefficients de Fourier:
V f E CMT, Vn E Z,
C11(1J = C11(/) .
Espace préhilbertien Dr
On note Dr l'ensemble des applications f : IR. ----+
l
Vt E Ill, f (1) = ~ (J~ (t+ ~) _+ _f ~ (t- ~) - ) . _ __ _ _ _ _ J
Il est clair que Cr est un
Exemple de représentation graphique d'un élément f de DT
Pour toute f de CMr, on appelle régularisée de f, et on note f , l'application
f : IR. ----+
L
Vt E IR.,
Exemple:
_ _ _ 3 f
:rr _ _
f
I
. . . 3
..
Les propriétés suivantes sont immédiates, pour toute f de CM r :
1) f coïncide avec f, sauf, sur une période, au plus en un nombre fini de points
7.2 Structure préhilbertienne
7.2.1
La nécessité de l'introduction de DT
apparaîtra d'abord dans la Proposition
suivante p.444,afin d'obtenir un produit
scalaire, mais surtout dans le théorème
de Dirichlet de convergence simple,
§ 7.3.2Théorème p. 420.
'J CT cDT cCMT.
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412
Onobtientf à partir de/en modifiant
f en ses points de discontinuité.
llen résultequefetf ont les mêmes
coefficients de Fourier:
V f E CMT, Vn E Z,
C11(1J = C11(/) .
Espace préhilbertien Dr
On note Dr l'ensemble des applications f : IR. ----+
l
Vt E Ill, f (1) = ~ (J~ (t+ ~) _+ _f ~ (t- ~) - ) . _ __ _ _ _ _ J
Il est clair que Cr est un
Exemple de représentation graphique d'un élément f de DT
Pour toute f de CMr, on appelle régularisée de f, et on note f , l'application
f : IR. ----+
L
Vt E IR.,
Exemple:
_ _ _ 3 f
:rr _ _
f
I
. . . 3
..
Les propriétés suivantes sont immédiates, pour toute f de CM r :
1) f coïncide avec f, sauf, sur une période, au plus en un nombre fini de points