1
Rappel : un projecteur p d'un espace
\JJ vectoriel E est par définition un
endomorphismedeEtelquepop =p.
fJ c
::J
0
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
L'application
11(f,g) r--+ -
f (t)g(t)dt
T T
n'est pas un produit scalaire sur CM T.
puisque, par exemple, l'application
f : lR r--+ IC
définie par:
f (t) =
.
{
1 si
Q SI
t E TZ
t rt TZ
vérifie: f E CMT et
_!_ { lf(t)l 2 dt =O.
T j[TJ
Chaque terme est ~ 0 et la somme est
nulle.
festcontinuesur]t;; t;+1 [.
,.
La notation 11f112 utilisée ici diffère de
\J.- cellevuedans§1.1.11),paruncoefficient
1
,Ji"
7 .2 ·Structure préhilbertienne
2) f E 'Dr
3) f = f {==:::} f E 'Dr
4)f = f.
Tl est clair que l'application CM r -----+ CMr est un projecteur de CMr, d'image égale
fr--+ 1
à 'Dr .
Proposition
li -
L'application (f,g) 1-------'>' (f 1 g) = -
f (t)g(t) dt est un produit scalaire sur Dr
T [Tl
et sur Cr.
J
Preuve
•Rappelons (cf. 1.6.l Définition 1, 2) que (-1·) est un produit scalaire sur 'Dr si et seulement si:
1) (· I ·) est à symétrie hermitienne: V(f,g) E ('Dr) 2 , (g 1 f) = (f 1 g)
2) ( · I ·) est linéaire par rapport à la 2nde place :
3) V f E 'DT, (f 1 f) )! 0
4) V f E 'DT, ( (f 1 f) = 0 = } f = 0) .
•Ici, les propriétés 1), 2), 3) sont immédiates.
Soit f E 'Dr telle que (f 1 f) = 0 ; on a alors 1 T 1f(t) 1
2 dt = 0. Puisque f E VT,f est continue par
morceaux; il existe donc m E N, (ta, ... ,t 111 ) E [0; T]
111 +
1 tels que:
(
0 = to < !1 < ... ! 111 = T
Vi E {O, ... ,m - 1JJl 1
. l est continue et admet des limites finies en rt et Ç+ 1 •
11.li+I
On a, par la relation de Chasles: 0 =for lf(t)l 2 dt=
1
~ (f 1;+l lf(t) l 2 dt) ,
.
fl;+I
2
donc: ViE{O, ... ,m -1}, Ji; lf(t)I dt=O ,
puis: Vi E (0, ... ,m - 1), Vt E]t;; t;+I [, f(t) = 0.
Ceci montre que f est nulle sur [O; T], sauf peut-être en les t; .
Mais, commef E 'Dr: Vi E {0, ... ,m}, f(t;) = ~ (!Ctt) + f(Ç)) = 0 , et finalement!= O .
La norme associée au produit scalaire (· 1-) sera ici notée 11- 112 et est donc définie par:
Vf E 'Dr,
1
11! 112 = (.!._ { If Ct)l
2 dt)
2
.
T }[T]
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