7.1 ·Généralités
Les méthodes à retenir
Coefficients de Fourier, série de Fourier d'un élément de CMr
• Pour calculer directement, quand c'est possible, les coefficients de Fourier d'un élément/ de CM r , appliquer
la définition :
11 .
CnCf) = -T
f (t)e -mwt dt ,
[TJ
n E Z
an Cf)= ~ 1 f(t) cos n wt dt ,
T [TJ
bnCf) = ~ 1 f(t) sin nwt dt ,
T !Tl
n E N .
• Pour relier les coefficients de Fourier de f et J', lorsque f : IR i------+ 1 par morceaux sur IR, utiliser la formule
Vn E Z, c 11 (f' ) = inwc 11 (f) .
7.1.1 Soient f E CM r, N E N* ; calculer en fonction des
coefficients de Fourier (exponentiels) de f les coeffi cients
de Fourier (exponentiels) des applications suivantes (on
vérifiera qu'ell es sont dans CMr) :
a) g : li!'. ---+ t~ei Nwt / (I)
b) f N : li!'. ---+ t ~ f(Nt)
c)
gN : li!'. ---+ N - 1
1 ~-tJ 2: !<-N+i)
k= O
7.1 .2 Soient f E Cr, f i- 0, telle que :
'Vt E IR, f (t) E lR+ .
Montrer : Vn E N*' (lan 1 < ao et Ibn 1 < ao).
7.1.3
Soit f E Cr, f # 0 , impaire, telle que :
'Vt E [0; T], f (t) E lR+ .
Montrer : Vn EN - {0, 1}, lbnl < nb1.
Utiliser Analyse MPSJ, exercice 7.8.3.
7.1.4 a) Montrer, pour toute f de CM2rr et tout n de N*:
1 n - I 1; ( ( 2p7r)
b,, (f) = - z= t r + -
7r p =O 0
n
-f (r+(2p+l);)) sin nt dt.
b) En déduire que, si f E CM 2rr est telle que f (IR) C IR et
que f 1
soit décroissante, alors:
]0:2rr[
'VnEN*, bn (f) ~ O.
7.1.5 Soit (Yn) nEZ une suite complexe telle que la suite
d'applications (Sn) 11 EN , définie par
n
'Vt E JR , Sn(t) = L Yke ikwt,
k = -n
converge uniformément sur JR , vers une application notée f.
Montrer:
a)f E CT
b)Vn E Z , c 11 (f) = Yn·
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