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410
Chapitre 7 • Séries de Fourier
e;xe~cice-type ~ésolu
Calcul de coefficients de Fourier
Soient! E CM 2 rr, h E JR~, j,,: lR ------+ IC définie par :
1 /'+ "
Vt E lR, j,,(t) = -
f(u)du.
2h 1-h
Vérifier j,, E CM 2 rr et calculer les coefficients de Fourier exponentiels de j,, en fonction de ceux de f.
Solution
• Puisque f est continue par morceaux sur IR, j,, est C
1 par morceaux et continue
sur IR, donc continue par morceaux sur IR.
On a, pour tout t E lR :
1 f i+2rr+h
1 11+h
j,,(t+2n)= -
f(u)du= -
f(u)du=f1i(t),
2h 1+2rr -h
2h 1 -h
donc j,, est 2rr-périodique.
Ceci montre: fh E CM2rr.
• L'application j,, est C
1 par morceaux et continue sur lR et on a :
Vt E lR, 2h J,;(t) = f(t + h) - f(t - h) = L11f(t) - r11f(t).
On en déduit, pour tout n E Z :
C11(J,) = 2~ (c11(L11f) - C11(r11f))
=
2
~ (ei 11 "c,,(f) - e-inhc 11 (f)) =~sin (nh)c 11 (f).
D'autre part, pour tout n E Z : c 11 (f/,) = i nc 11 (j, 1 ).
On déduit, pour tout n E Z* :
1
,
sin(nh)
c11 (j,,) =in C11(J, 1 ) =
nh C11(j).
Enfin, on calcule co(J,,) :
1 12rr
1 12rr ( 1 [ u+h
)
co(f11) = -
j,,(u) du = -
-
f (t) dt du
2n 0
2n 0
2h ,,_,,
1 12rr ( 1 f"
) 1 j" ( 12rr
)
= -
-
f (u + v) dv du = -
f (u + v) du dv
2n 0
2h _,,
4rrh _,,
0
1 j" (f,v+2rr )
1 j " (12" )
= -
f(t)dt dv = -
f(t)dt dv
4nh _,,
v
4nh -h
o
= (_2._ [2" f (t) dt)(~ {'' dv) = c 0 (f).
2rr ) 0
2h } _,,
On conclut:
Vn E &::, c,, (j',,) ~ 1
si n =O.
sin (nh)
nh Cn(j)
co(f)
si n # 0
Conseils
Car f est 2n-périodique.
Dérivée d'une fonction définie par une
intégrale, la variable t n'intervenant qu'aux
bornes.
Linéarité de c 11 et formule sur les coefficients de Fourier d'une translatée.
Formule sur les coefficients de Fourier
d'une dérivée.
Changement de variable: v = t - u, u
fixé, puis théorème de Fubini sur les intégrales doubles .
Changement de variable t = u + v , v fixé,
puis 2rr-périodicité de f.