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ï5.
g
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Q.
j
-g
Ce résultat est grossier.En pratique, dans
les exemples, on arrive à une estimation
des Cn (f) plus fine que le résultat cicontre ;cf.§ 7.4 Exemples p.423.
Exercices 7.1.1à7.1.4.
7.1.3
Dans la suite
(c,, (f) einwt)11eZ
indexée par Z, on groupe les termes
d'indices opposés deux par deux, en
considérant à part le cas n = 0.
p
Dans la somme L , on sépare les
11=- p
termes d'in dices < 0, d'indice 0,
d'indices > 0, puis on regroupe les
termes d'indices opposés.
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0
Exercice 7 .1.5.
7.1 ·Généralités
Par une récurrence immédiate (sur k), on en déduit, pour tout k de N*, que, si f est T-périodique,
de classe ck- l sur lR, de classe ck par morceaux sur lR, alors :
En particulier, sous ces hypothèses, comme (c 11 (fk)) est bornée et que, pour tout n de Z*,
nEZ
c 11 (f) = ~ c 11 (!(k)), on a, en utilisant la notation 0 :
(inw)
Cn(j) =
0 ( lk).
n->±oo n
Série de Fourier d'un élément de CMT
Soitf E CMr.
On appelle série de Fourier de fla série d'applications L Un (f) où
n;;,o
uo (f) : IR ---+ C et, pour tout n de N*, un (f) : IR ---+ C
t~co(f)
t~cn(f)einwr +c-n(f)e-inwt
Pour tout p de N, la pème somme partielle de la série de Fourier de f est l'application
Sp(f) : lR -----+ CC définie par:
p
Vt ER Sp(f)(t) = L c 11 (f)einwr .
11=-p
Soient f E CM r. p E N, t E IR. Calculons Sp(f)(t) en fonction des coefficients de Fourier trigonométriques an ,bn de f:
p
- l
p
Sp(f)(t) = L Cneinwt = L Cneinwt + co + L Cneinwt
n=-p
n=-p
11=1
p
p
L c_,,,e-imwt + co + L Cneinwr
m=I
n=I
[m= - n]
p l
·
a
p l
·
='""' - (a + ib )e111 w
1
+ _Q +'""' - (a - ib )e
111 w
1
L2 n
n
2
L2 11
n
n=I
n=I
ao "
=1 + Lan
n= l
ao "
= 2
+ L (a 11 cos nwt + b 11 sin nwt).
n= I
p
p
Sp(f)(t) = L Cne inwt = a; + L(an cos nwt + bn sin nwt)
n=-p
n=I
409
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les exemples, on arrive à une estimation
des Cn (f) plus fine que le résultat cicontre ;cf.§ 7.4 Exemples p.423.
Exercices 7.1.1à7.1.4.
7.1.3
Dans la suite
(c,, (f) einwt)11eZ
indexée par Z, on groupe les termes
d'indices opposés deux par deux, en
considérant à part le cas n = 0.
p
Dans la somme L , on sépare les
11=- p
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d'indices > 0, puis on regroupe les
termes d'indices opposés.
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Exercice 7 .1.5.
7.1 ·Généralités
Par une récurrence immédiate (sur k), on en déduit, pour tout k de N*, que, si f est T-périodique,
de classe ck- l sur lR, de classe ck par morceaux sur lR, alors :
En particulier, sous ces hypothèses, comme (c 11 (fk)) est bornée et que, pour tout n de Z*,
nEZ
c 11 (f) = ~ c 11 (!(k)), on a, en utilisant la notation 0 :
(inw)
Cn(j) =
0 ( lk).
n->±oo n
Série de Fourier d'un élément de CMT
Soitf E CMr.
On appelle série de Fourier de fla série d'applications L Un (f) où
n;;,o
uo (f) : IR ---+ C et, pour tout n de N*, un (f) : IR ---+ C
t~co(f)
t~cn(f)einwr +c-n(f)e-inwt
Pour tout p de N, la pème somme partielle de la série de Fourier de f est l'application
Sp(f) : lR -----+ CC définie par:
p
Vt ER Sp(f)(t) = L c 11 (f)einwr .
11=-p
Soient f E CM r. p E N, t E IR. Calculons Sp(f)(t) en fonction des coefficients de Fourier trigonométriques an ,bn de f:
p
- l
p
Sp(f)(t) = L Cneinwt = L Cneinwt + co + L Cneinwt
n=-p
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p
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L c_,,,e-imwt + co + L Cneinwr
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p
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