Chapitre 7 • Séries de Fourier
\ '? \ Rappel :
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f: ~---" IC, t r--+ f(-t).
~ Remarque très utile en pratique.
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On peut exprimer an ( b 11 ( b 11 (f), mais les résultats paraissent peu
intéressants.
A priori,/' peut ne pas être définie en
un nombre fini de points de [O ; Tl.
L'intégration par parties est ici licite car
les applications/et/ r--+ e-inwt sont
continues sur [O, T] et de classeC 1 par
morceaux sur [0, T] (cf. § 2.3 .9
Remarque).
On peut aussi calculer a 11 (f') et
b,, (f ') par intégration par parties.
V
2) Coefficients de Fourier de f
• On a, pour tout n de Z :
c,,(h = _!_ ( f (-t)e- inwt dt = _!_ 10 f(u)ein w11 du = _!_ { f(u)e - i11w11 du
T } 0
C11=-1J T - T
T l cn
=cncf).
V
-
En utilisant 1 ), on a donc c 11 (f) = c 11 (f) = c_ 11 (f), et on conclut :
V
Vn E Z Cn(j) = C-n (j)
• On a, pour tout n de N :
a,,(J>='l:_ ( f(-t)cosnwtdt = ' } : _ 1° f(u) cosnwudu=a 11 (.f),
T } 0
[11= - 1J T - T
b 11 (h = '}:_ ( f(- t) sin nwt dt = _'}:_ 1° f(u) sin nwu du= - b 11 (.f).
T } 0
[11 =-11
T - T
V
V
Vn E N, an(f) = an(f) et b 11 (f) = -bn(f)
En particulier :
V
• si f est paire, f = f, donc : Vn E N bn (f) = 0
V
• si f est impaire, f = - f, donc: Vn EN a,, (f) =O.
3) Coefficients de Fourier d'une translatée
Soit a E IR. On note : T a f: IR ----+ Ir--+ f (t - a)
On a, pour tout n de Z :
Cn(raf) = -
f(t-a)e- •nwtdt = -
f(u)e- •nw(u+a) du = e-•nwacn(f).
l !oT
.
1 1T-a
.
.
T Q
[11=1-a] T - a
Vn E Z,
4) Coefficients de Fourier d'une dérivée
Soit f: IR ----+ peut être prolongée en une application T-périodique et continue par morceaux sur IR, encore
notée f' ; ainsi, f ' E CMT.
Une intégration par parties fournit, pour tout n de Z :
1 {T
·
1 [
· ]T 1 {T
·
cn(f') = T Jo f'(t)e - •nwtdt = T f(f)e- •nwt 0 - T Jo f(t)(-inw)e - •nwt dt
inw !oT
·
= -
f(t) e -•nwt dt= inw c,,(f).
T 0
Vn E Z, c 11 (f
1
) = inw c 11 (f)
On en déduit :
Vn E N, a 11 (J' ) = nw b 11 (f), b 11 (f1) = -nw a 11 (f)