'
Il est inutile de retenir ces formules par
cœur. On les retrouvera par calcul, si
nécessaire.
Autrement dit, f est la suite des
coefficients
de
Fourier.
exponentiels de f:
Î = (c11Cf))11eZ ·
La notation Il · li 1 ici définie différe de
celle définie dans le § 1.1.1 1) par un
1
facteur-:;.
1...11- 11 1 estunenormesurCTmaisn'estpas
une norme sur CM T· C'est pourquoi on
s'intéresse ici à CTet non àCMT.
,.,
111-1 11 est
la
norme
sur
\j_ .CC(CT,B(Z,IC)) subordonnée à
11-11 1dansCTet 11.l loo dans B (Z,IC)
(cf.§ 1.2.5), autrement dit:
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
l l lFl l l = Sup
feCr - {01
l lF(f) l loo
11!11 1
Le plus souvent, on fait intervenir les
coefficients
trigonométriques
a" ( f) , bn (f) lorsquefestàvaleurs
réelles.
Soit! E CMr; on a:
L
{
Vn E N,
Vn E N* ,
Remarque:
an= Cn + C- n
bn = i (cn - C- n) '
On note,pourtoutefdeCMT,j: Z -----+ C .
n~c 11 (f )
·On a,pourtout n de Z et toutef deCMr:
7.1 ·Généralités
Vn EN,
~
l
1 i . 1 li . li
lf(n)I = lc,i(f) I = -
f(t)e - •
11 wr dt ~ -
lf(t)e - "'w
1 ldt = -
lf(t) I dt.
T [T]
T [T]
T [T]
On note, pour f E CMT,11! 11 1 = 2_ r lf(t)I dt.
T }[T]
On vient de montrer que, pour toute f de CM T,f est bornée, et que:
Sup lf(n) I ~ ll fll1.
11 EZ
On obtient ainsi: V f E CMT, ll Îl loo ~ ll f ll 1.
• Considérons l'application F : CT -----+ B(Z,IC) , où B(Z,IC) est l'ensemble des suites comft--+ F(f)=Î
plexes indexées par Z et bornées. D'après ce qui précède :
V f E CT , ll F(J) lloo:::;; ll f lli ·
Comme Fest C-linéaire, il en résulte que Fest continue de (CT, 11 · 111) dans (B(Z,IC), 11.l loo ),
et que lll F lll::::; 1.
Enfin, comme, pour f = 1, fonction constante égale à 1, on a llF(J) lloo = 1, on conclut:
ll lFlll = 1.
-
V
Soit f E CMT. Nous allons étudier les coefficients de Fourier de f , f, raf, J' , en fonction de
ceux de f.
1) Coefficients de Fourier de 7
• On a, pour tout n de Z :
Cn(f) = 2_ r f(t)e - inwt dt= 2_ r . f(t)eÎn wt dt= C- n T }[T]
T JrTJ
Vn E Z, Cn (f) = C- n (f)
• On a, pour tout n de N :
- 2121
-
an(f) = -
f(t) cos nwt dt= -
f (t) cos nwt dt= an(f) ,
T [TJ
T [TJ
et, de même : bn (f) = b,, (J).
Vn E N, an (f) = an (f) et bn (f) = b 11 (f)
En particulier, sif(IR) C IR, alors: "ln E N , a 11 (J) E IR et b 11 (J) E IR.
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