Chapitre 7 • Séries de Fourier
\j Cf.Analyse MPSl,6.2.5 Définition.
'J llestclairqueCMTestun C -ev.
g Preuves analogues pour a,, et b,,.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
406
Remarques:
1) Pour toute! de CMT, on a bo(f) = 0 ; il est ainsi d'usage de ne définir les bnCf) que pour
n E N* .
2) Pour toute f de CMT, co(f) = ..!._ f f (t) dt est la valeur moyenne de f sur un intervalT }[T ]
le de longueur T.
3) Soit! E CMT.
·Si f est paire, alors:
l
' ' bnCf)=O
anCf) = i rt f(t) cosnwt dt.
T Jo
an Cf) = 0
·Si f est impaire, alors:
!
' ' 4 ;
b,,(f) = - { f(t) sin nwt dt.
T Jo
Pour tout n, les applications f f----+ en (f), f f----+ an (f), f f----+ bn (f) sont des
formes C-linéaires sur CM T·
Preuve
Par exemple, pour c n , on a, pour tous a de tC ,f, g de CM T :
c,,(af + g) = 2_ { (af(t) + g (t) )e- inwtdt
T Jrn
=a -
f(t)e - •nwtdt + -
g(t)e- •nwt dt
11 . 11 .
T [T]
T [T]
= ac11Cf) + c,,(g).
•
Soit f E CMT. Déterminons les liens qui peuvent exister entre les c 11 d'une part, et les a,, et les
b,, d'autre part.
1) •' a., = -
f(t)cos nwt dt= -
f(t)(e"'w
1 +e - "'w
1
) dt= c_,, +c.,.
21
11 . .
T rn
T rn
•' bn = ~ { j(t) Sinnwt dt= ~ { j(t)(-einwt + e-Ïnwt) dt= i(c 11
-
C-n) .
T lrn
T lrn
2) •' c 11 = -
f(t)e- •nwt dt= -
f(t)(cos nwt - i sinnwt) dt= - (a 11 - ib,,).
11 . 11
1
T [T]
T [TJ
2
•' C- n = -
f(t)e •nwt dt= -
f(t)(cosnwt + i sinnwt) dt= - (a,,+ ib,,).
11 . 11
1
T [T]
T [T]
2
On a ainsi prouvé :