Rappelons :f : IR ----+ C
ft----> f (-t)
(cf. Analyse MPSI, 4.1.3),
Taf :IR----+ C
tt----> f (t-a)
(cf. P 5.21112) p.347).
\ '? r f se lit : intégrale de f sur une
\...;-' J[T]
période.
~ Relation de Chasles pour des intégrales.
'-"
Attention : en général, une fonction f
n'est ni paire ni impaire.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
7.1.2
..._,
:gi~ Les c,,(f) sont définis pour n E Z,
~
tandis que les a11(f) etb11(f) ne sont
O
définis que pour n E N .
u
1
"I \ Si le contexte le permet, on allège les
\.,;..) notations en notantc 11 , a 11 ,b 11 au lieu de
c,, (f), a 11 (f) ,b,, (f) respectivement.
7. 1 ·Généralités
Pour tout a E C, a E ITJi. ,f,g E CM r, les applications af + g ,f g, 7, Ré(f), Im(f),
IJIJ , ra! sont dans CMr.
Remarque:
CM T est un C-ev pour les lois usuelles.
{ a+T
Soit f E CMr. Pour a E ITJJ. , l'intégrale la f ne dépend pas de a ; on la note
,~1 _1 _ ri _f _ ._ ou ~J_ r_ if _( _ t) _d _t _ . ~~~~~~~~~~~~~~~~~~--J
Preuve
1
b+T
l a
1a+T
1b+T
Soit (a,b) E IR
2 . On a:
f =
f +
f +
f
b
b
a
a+T
et f b+T f(t) dt = { b f(u + T)du = { b f(u) du, puisquefest T-périodique.
l a+T
u=t-T l a
l a
{ b+T
r +T
D'où: l b f = la
f.
•
Remarque:
En pratique, pour calculer f f , on tiendra compte des particularités éventuelles de f. Par
lrTJ
exemple :
T
·si f est paire, alors { f = 2 f2 f
lrTJ
lo
·si f est impaire, alors { f = 0.
l[T]
Coefficients de Fourier d'un élément de CMr
..
Soitf E CMr.
1) Pour tout n de Z, on appelle nèrne coefficient de Fourier (exponentiel) de f le
nombre complexe, noté Cn (f), défini par :
Cn(f) = -
f(t)e-inwtdt.
11 .
T fT]
2) Pour tout n de N, on définit les coefficients de Fourier (trigonométriques) de f,
notés a 11 (f) et b,, (f), par :
an(f) = ~ 1 f(t) cos n wt dt,
T lTJ
21 .
bn(f) = -
f(t) sm nwt dt.
T lTJ
405