-0
0
c
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0
(V)
.-t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
402
Chapitre 6 • Séries entières
Problèmes
P 6.1 Dénombrement de parenthésages
Ce Problème illustre l'intervention des séries entières dans certains problèmes de dénombrement.
On note an le nombre de parenthésages sur un composé den élé ments X 1, ... , Xn d'un ensemble E muni d'une loi interne.
n
0 1
2
3
4
( X1 ) ( X1X2) (X1X2) X 3, X1 ( X2X3)
(( X1X2) X3) X4,
parenthésages
a"
0 1
n- 1
a) Montrer: 'Vn ~ 2, an= L akCln - k·
k= l
1
b) On considère la série entière L anxn. On suppose, dans
n;;.O
ce b), que son rayon Rest > 0 , et on note S sa somme.
La somme S de la série entière L a 11 x
11 s'appelle la fonction génératrice
n ~O
des a 11 •
Montrer:
'V x E] - R ; R[, (S(x))
2 - S(x ) + x = 0.
c) 1) Montrer que la fonction
1
f:x~ 2(1-~
est dSE(O) et calculer son DSE(O).
1 c n- 1
2) E n déduire: 'V n E N*, an = - 2n - 2·
n
Le no mbre a,. est appelé le (n - 1) ème nombre de
Catalan.
Autrement dit, le n-ème nombre de Catalan est :
i C"
n + 1 2 ,,.
P 6.2 Série de Lambert
On appelle série de Lambert toute série de fonctions
'"""' (z ~ an __!!:..___), où z est la variable (z E q et
L
1- zn
n;;;: I
(an)n;;. 1 est une suite complexe quelconque.
1) Soit (a 11 ) 11 ;;. 1 E cN* .
a) Montrer que, si la série numérique L an diverge, a lors,
n;;. 1
en notant R le rayon de la série entière L a,. z", la série de
11;;.0
Zn
Lambert '"""'an - - converge abso lume nt lo rsque
L
1 - zn
n;;. 1
lzl < R , et diverge lorsque: lzl > R et lzl # 1.
2
(X 1(X2X 3) )X4,(X 1X2) (X 3X4) ,
X 1((X2X3)X4) , X1 ( (X 2(X 3X4) )
5
b) Montrer que, si la série numérique L an converge, a lors
n;;d
n
la série de Lambert'"""' an _z_ converge lorsque lzl # 1.
L
1 - zn
n;;. I
2) a) Soient L a11 z
11
, L hp zP deux séries entières de
n;;. 1
p;;. I
rayon 1, et de sommes notées respectivement A et B.
Montrer que, pour tout z de C tel que lzl < 1, les séries
numériques L a,. B ( z") et L b PA ( z P) convergent, et que :
n;;. I
p;;. I
+oo
+ oo
L:a1 1 B(z
11
) = L bpA(zP) .
p= l
Faire intervenir la notion de série double.
(Cf. aussi exercice 6.2.2 p. 371).
b) E n déduire, pour tout z de C te l que lzl < l , et tout x de
] - l ; l[ :
Quelques égalités remarquables.
+oo
n
+ oo
11
l ) L ( - l )n - l _ Z _ = L _ z _
n= 1
l - z" n= 1 l + z"
+oo
z"
+oo
z"
2) L n l - zn = L (1 - z" )2
n= I
n= I
+ oo
n
+oo
n
3) '""'C-1)"- ln _z - =' """' __ z ~
~
1 - z" ~ ( 1 + z
11 )2
+oo l
x"
+oo
4) '"""' - - - = - '"""'ln(l - x")
Ln 1- x"
L
11 = 1
n= I
+ oo (-l )n - 1
x n
+ oo
5) '"""'
- - = '"""'ln (l + x
11
)
L
n
1 - x n
L
11=1
n= l
+ oo 1
z"
+ oo
6) L - - . = L (ez" - 1).
1
n! 1 - z
11
1
Il=
p=
c) Montrer, pour tout (a,z) de C 2 tel que la i < 1 et
lzl < 1 :
0
c
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Chapitre 6 • Séries entières
Problèmes
P 6.1 Dénombrement de parenthésages
Ce Problème illustre l'intervention des séries entières dans certains problèmes de dénombrement.
On note an le nombre de parenthésages sur un composé den élé ments X 1, ... , Xn d'un ensemble E muni d'une loi interne.
n
0 1
2
3
4
( X1 ) ( X1X2) (X1X2) X 3, X1 ( X2X3)
(( X1X2) X3) X4,
parenthésages
a"
0 1
n- 1
a) Montrer: 'Vn ~ 2, an= L akCln - k·
k= l
1
b) On considère la série entière L anxn. On suppose, dans
n;;.O
ce b), que son rayon Rest > 0 , et on note S sa somme.
La somme S de la série entière L a 11 x
11 s'appelle la fonction génératrice
n ~O
des a 11 •
Montrer:
'V x E] - R ; R[, (S(x))
2 - S(x ) + x = 0.
c) 1) Montrer que la fonction
1
f:x~ 2(1-~
est dSE(O) et calculer son DSE(O).
1 c n- 1
2) E n déduire: 'V n E N*, an = - 2n - 2·
n
Le no mbre a,. est appelé le (n - 1) ème nombre de
Catalan.
Autrement dit, le n-ème nombre de Catalan est :
i C"
n + 1 2 ,,.
P 6.2 Série de Lambert
On appelle série de Lambert toute série de fonctions
'"""' (z ~ an __!!:..___), où z est la variable (z E q et
L
1- zn
n;;;: I
(an)n;;. 1 est une suite complexe quelconque.
1) Soit (a 11 ) 11 ;;. 1 E cN* .
a) Montrer que, si la série numérique L an diverge, a lors,
n;;. 1
en notant R le rayon de la série entière L a,. z", la série de
11;;.0
Zn
Lambert '"""'an - - converge abso lume nt lo rsque
L
1 - zn
n;;. 1
lzl < R , et diverge lorsque: lzl > R et lzl # 1.
2
(X 1(X2X 3) )X4,(X 1X2) (X 3X4) ,
X 1((X2X3)X4) , X1 ( (X 2(X 3X4) )
5
b) Montrer que, si la série numérique L an converge, a lors
n;;d
n
la série de Lambert'"""' an _z_ converge lorsque lzl # 1.
L
1 - zn
n;;. I
2) a) Soient L a11 z
11
, L hp zP deux séries entières de
n;;. 1
p;;. I
rayon 1, et de sommes notées respectivement A et B.
Montrer que, pour tout z de C tel que lzl < 1, les séries
numériques L a,. B ( z") et L b PA ( z P) convergent, et que :
n;;. I
p;;. I
+oo
+ oo
L:a1 1 B(z
11
) = L bpA(zP) .
p= l
Faire intervenir la notion de série double.
(Cf. aussi exercice 6.2.2 p. 371).
b) E n déduire, pour tout z de C te l que lzl < l , et tout x de
] - l ; l[ :
Quelques égalités remarquables.
+oo
n
+ oo
11
l ) L ( - l )n - l _ Z _ = L _ z _
n= 1
l - z" n= 1 l + z"
+oo
z"
+oo
z"
2) L n l - zn = L (1 - z" )2
n= I
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+ oo
n
+oo
n
3) '""'C-1)"- ln _z - =' """' __ z ~
~
1 - z" ~ ( 1 + z
11 )2
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x"
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4) '"""' - - - = - '"""'ln(l - x")
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L
11 = 1
n= I
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x n
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5) '"""'
- - = '"""'ln (l + x
11
)
L
n
1 - x n
L
11=1
n= l
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z"
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6) L - - . = L (ez" - 1).
1
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11
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c) Montrer, pour tout (a,z) de C 2 tel que la i < 1 et
lzl < 1 :