6.6 • Fonctions usuelles d'une variable complexe
Les méthodes à retenir
Fonctions usuelles d'une variable complexe
• Pour obtenir des DSE(O) de fonctions produits de fonctions trigonométriques ou hyperboliques (ex. 6.6.2 a),
b)), penser à linéariser ou à utiliser l'exponentielle complexe.
•
•
Pour obtenir le DSE(O) d'une intégrale dépendant d'un paramètre (ex. 6.6.2 c)), développer à l' aide d' une
série entière à l'intérieur de l'intégrale, puis montrer qu'on peut permuter f et L.
Pour établir une inégalité faisant intervenir des fonctions usuelles de la variable complexe, penser à utiliser
des DSE (ex. 6.6.3).
• Les liens entre cos et ch, sin et sh, en passant par les complexes, permettent d'établir de nombreuses formules (ex.
6.6.4, 6.6.6).
• Pour résoudre une équation d'inconnue z E C faisant intervenir cos z, sin z, ch z, sh z ... , se ramener, en général , à des exponentielles et utiliser éventuellement un changement de variable (ex. 6.6.7).
6.6.1
Rayons de convergence et sommes des séries
L
cosne
L: sinne
entières
- -xn ,
- -xn, pour B E IR fixé.
n'
n'
n ~ O
·
n ~ O
·
6.6.2 Former le DSE(O) de f:
a) f(x) = excosx
:; ·f(x) =Io~ eixsin B d B.
b) f(x) = sin x chx
6 .6 .3 Montrer, pour tout (z,N) de IC x N :
1
N Zn 1
N lzln
ez - L 1 ,,; elzl - L - , .
n=O n.
n=O n .
6.6.4 Soient (x,y) E IR 2 , z = x + iy.
Vérifier:
{
1 cos z 1
2 = cos
2 x + sh
2 y = ch
2 y - sin
2 x
lsin zl 2 = sin 2 x + sh 2 y = ch 2 y - cos 2 x.
6.6.5
1 .
Soient aEIR, n E Z , yEIR, z=n+2+ 1y.
Montrer : - . - - ~ - - .
1
sin az 1
ch ay
sm n: z
ch n:y
(Utiliser le résu ltat de l'exercice 6.6.4).
6.6.6
Vérifier, pour tout (x,y) de IR 2 tel que
.
7r
x + 1y sin 2x + ish 2y
tan (x+ iy)=
.
cos2x +ch2y
6.6. 7 Résoudre les équations d'inconnue z E IC :
a) Ré(sin z) = 0
b) chz = sin z
c) lcos zl = lsin zl .
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