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398
Chapitre 6 • Séries entières
6.6.2
Ces fonctions prolongent donc les
fonctions cos et sin précédemment
définies sur IR, Analyse MPSI, 7.8 et
Analyse MP, 6.5.3 2).
Ces DSE (0) ont déjà été obtenus lorsque
z est réel, d. § 6.5.3 2) p. 382.
Ces fonctions prolongent les fonctions
tan et cotan précédemment définies
sur IR - ( ~ + rrZ) et IR - rrZ
respectivement.
V z E C, (e 2 = 1 {::::::::} z E 2irrZ).
Remarque : L'étude précédente (Théorème 2 et Proposition-Définition 3) donne une définition explicite den.
Fonctions circulaires directes
On définit cos et sin sur C par, pour tout z de C :
e;z + e - iz
cosz = --2-e;z _ e - iz
sinz = - - - -
2i
En remplaçant e iz et e -iz par leurs expressions sous forme de sommes de séries entières, on
déduit la Proposition suivante.
Vz E C, (
+oo ( -1 )n z2n
cosz = ~ ( 2 n)! ,
.
+oo (-l)nz2n+1)
smz= 2= ----n=O (2n + l)!
Remarque : On montre aisément : V z E C,
1C
1
cos Z = Ü {:::::::} Z E l + 1C Z
sin z = 0 {:::::::} z E n Z
(
rr
)
~nz
1) Pour z E C - - + rr Z , on note tanz = - - .
2
cosz
cosz
2) Pour z E C - rr Z , on note cotanz = -.-.
smz
Formulaire de trigonométrie circulaire directe
Le lecteur se convaincra aisément que le formulaire relatif aux fonctions circulaires directes
d'une variable réelle (Analyse MPSI, 7 .8) est aussi, en grande partie, valable pour les fonctions
circulaires directes d'une variable complexe. On a ainsi :
• V z E C, cos 2 z + sin 2 z = 1.
V(a ,b) E C 2 ,
V(a ,b) E C 2 ,
V(p,q) E C 2 ,
l
cos (a+ b) =cos a cosb - sin a sinb
cos (a - b) =cos a cosb +sin a sinb
sin(a+b) = sin acosb +cosasinb
sin(a -b) =sin a cosb - cosa sinb.
1
1
sin a sinb = 2: (cos(a - b) - cos(a + b))
sin a cos b = ~ (sin(a + b) + sin(a - b))
'°'" '°'b ~ 1 (oo,(a -h) + .
.
2. p+q
p-q
smp+smq = sm2
- cos2
-
.
.
2. p-q
p+q
smp- smq = sm2
- cos -
2
-
p-q
p+q
cos p + cos q = 2 cos -2- cos -22
. p-q . p+q
cos p - cos q = - sm - - sm - -.
2
2