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6.6.3
Ces fonctions prolongent donc les
fonctions ch et sh précédemment
définies sur JR, Analyse MPSI, 7.6.
Ainsi, les fonctions complexes ch, sh
d'une part, cos, sin d'autre part, font
« double emploi "·
Méthode mnémotechnique pour obtenir
le formul aire de trigonométrie
hyperbolique directe à partir du
formulaire de trigonométrie circulaire.
6.6 • Fonctions usuelles d'une variable complexe
•
Vz E C , {
sin 2z = 2 sin z cos z
cos2z = 2 cos 2 z - 1 = 1 - 2 sin 2 z.
z
•En notant t = tan 2
, on a:
.
2t
smz = 1 + r2,
1 - t 2
cosz = - - 2,
1 + t
2t
tanz = - - 2 ,
1 - t
lorsque ces éléments sont définis.
1
2
1 +cos2z
cos z =
2
\:/z E C,
. 2
1 - cos2z
S!Il Z =
.
2
• sin est 2rr-périodique, impaire et, pour tout z de C :
sin (rr + z) = - sin z, sin(rr - z) = sin z,
sin(~ +z) =cosz, sin(~ -z) =cosz.
• cos est 2rr- périodique, paire et, pour tout z de C :
cos(rr + z) = -cosz, cos(rr - z) = -cosz,
cos(~+ z) =-sin z, cos(~ - z) =sin z.
•tan est rr- périodique, impaire et, pour tout z de C -rrZ:
tan(~+ z) = -cotan z, tan(~ - z) =cotan z.
Remarque : Les applications cos et sin ne sont pas bornées sur C , bien que:
\:/z E C, cos 2 z + sin 2 z = 1.
On notera que, puisque cos z et sin z sont, a priori, des nombres complexes, cos 2 z et sin 2 z ne
sont pas nécessairement des réels.
Fonctions hyperboliques directes
l On définit les fonction:: : : ' _ e ~ _+ _ ': _: _ ~_' par, 5 :u~to _ e~ _ t_ ~_: _ ~_z _ V z E V z E i sh z = sin (iz)
chz =cos (iz) · _
_____..]
(
+oo z2n
ch -
- -
z - z= (2n)! '
n=O
+oo z2n+ 1 )
sh z = L (2n + 1) ! .
n=O
Formulaire de trigonométrie hyperbolique directe
Méthode : D'après la Proposition 1, on déduit celui-ci du formulaire de trigonométrie circulaire directe en remplaçant dans ce dernier : cos par ch, sin par i sh,
tan pari th.
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