Exercices 6.6.1 à 6.6.3.
/nes'annulepas,car/(O) = 1 et,pour
toutt E]O; 1]:
1-t
f(t) =0{} zo=- - ::::}zoE lIL,
contradiction.
1
? \ Rappelons (d. Analyse MPSI, 2.4. 1) que
.;,.J U = {z E C; lzl = 1 l.
D
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ceci constitue une définition
« rigoureuse » de :rr.
1
Définition du noyau d'un morphisme de
\1J groupes, cf. Algèbre MPSI, § 2.2.3 Déf. 2.
6.6 • Fonctions usuelles d'une variable complexe
1 Preuve
le zl = 1 {:::::::} e 2 Ré(z) = 1 {:::::::} Ré(z) = 0 {:::::::} z E i!R..
•
3) Étude d'un morphisme de groupes, définition de n
L'application z f------+ ez est un morphisme surjectif continu du groupe (C, +) sur le
groupe (C*, x) .
Preuve
On adéjà vu: Vz E
1) Supposons zo (j !R._ .
L'application f : [O; 1] _____,,
donc l'application g : [0; 1] _____,,
/ (1 )
y(t) = fo
1
g(u) du , est de classe C 1 sur [O; 1] et: V t E [O; 1],
L'application h : [O; l] _____,,
f'(t)
y'(t) = g(t) = f (t) .
Vt E [0; l], h
1 (t) = (f'(t)- f(t)y
1 (t))e - y (t) = 0.
Donc h est constante. Commeh(O) = f(O) = 1, on conclut: Vt E [O; l], f(t) = eY< 1 >.
En particulier: zo = f(l) = eY
D'après 1 ), il existe u E
11
)
2 = -1.
Comme -zo E IR.+ C
On a alors : zo = -e z = e 211 e z = e z+ 211 .
On conclut que l'application
L'application 1/; : t f------+ eit est un morphisme surjectif continu du groupe (ffi., +) sur
a
le groupe (1U, .) et il existe a E ~i unique tel que Ker(î/;) = aZ. On note rr = 2 . j
Preuve
• ·tf; est continue, par composition, puisque z f----+ ez est continue sur
1
1 = 1 (cf. Corollaire 2 p. 396).
• Soit w E 1lJ. D'après le Théorème 2, il existe z E IC tel que w = ez. Comme 1w1 = 1 , on déduit z E i!R.
(cf. Corollaire 2 p. 396) et il existe donc t E IR. tel que w = ez = ei 1 , ce qui prouve la surjectivité de 't/;.
•Par définition: Ker(îf;) = îf;- 1 ({l}) = {t E IR.; è = l} ; Ker(îf;) est un sous-groupe de (IR., +)
fermé (car îf; est continue et {l} fermé), distinct de {0} car, avec les notations du Théorème 2
exercice 1.13) qu'il existe a E IR.+ unique tel que Ker('t/;) = a'll .
397
/nes'annulepas,car/(O) = 1 et,pour
toutt E]O; 1]:
1-t
f(t) =0{} zo=- - ::::}zoE lIL,
contradiction.
1
? \ Rappelons (d. Analyse MPSI, 2.4. 1) que
.;,.J U = {z E C; lzl = 1 l.
D
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ceci constitue une définition
« rigoureuse » de :rr.
1
Définition du noyau d'un morphisme de
\1J groupes, cf. Algèbre MPSI, § 2.2.3 Déf. 2.
6.6 • Fonctions usuelles d'une variable complexe
1 Preuve
le zl = 1 {:::::::} e 2 Ré(z) = 1 {:::::::} Ré(z) = 0 {:::::::} z E i!R..
•
3) Étude d'un morphisme de groupes, définition de n
L'application z f------+ ez est un morphisme surjectif continu du groupe (C, +) sur le
groupe (C*, x) .
Preuve
On adéjà vu: Vz E
1) Supposons zo (j !R._ .
L'application f : [O; 1] _____,,
donc l'application g : [0; 1] _____,,
/ (1 )
y(t) = fo
1
g(u) du , est de classe C 1 sur [O; 1] et: V t E [O; 1],
L'application h : [O; l] _____,,
f'(t)
y'(t) = g(t) = f (t) .
Vt E [0; l], h
1 (t) = (f'(t)- f(t)y
1 (t))e - y (t) = 0.
Donc h est constante. Commeh(O) = f(O) = 1, on conclut: Vt E [O; l], f(t) = eY< 1 >.
En particulier: zo = f(l) = eY
D'après 1 ), il existe u E
11
)
2 = -1.
Comme -zo E IR.+ C
On a alors : zo = -e z = e 211 e z = e z+ 211 .
On conclut que l'application
L'application 1/; : t f------+ eit est un morphisme surjectif continu du groupe (ffi., +) sur
a
le groupe (1U, .) et il existe a E ~i unique tel que Ker(î/;) = aZ. On note rr = 2 . j
Preuve
• ·tf; est continue, par composition, puisque z f----+ ez est continue sur
1
1 = 1 (cf. Corollaire 2 p. 396).
• Soit w E 1lJ. D'après le Théorème 2, il existe z E IC tel que w = ez. Comme 1w1 = 1 , on déduit z E i!R.
(cf. Corollaire 2 p. 396) et il existe donc t E IR. tel que w = ez = ei 1 , ce qui prouve la surjectivité de 't/;.
•Par définition: Ker(îf;) = îf;- 1 ({l}) = {t E IR.; è = l} ; Ker(îf;) est un sous-groupe de (IR., +)
fermé (car îf; est continue et {l} fermé), distinct de {0} car, avec les notations du Théorème 2
exercice 1.13) qu'il existe a E IR.+ unique tel que Ker('t/;) = a'll .
397